初中几何一题多解.doc
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初中几何一题多解.doc
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浅谈初中数学几何中的“一题多解”
摘要数学充满着浓厚的趣味性和挑战性,数学教学应体现其科学性,尊重学生的个体差异,尽可能满足学生的多样化学习需求,让学生根据自己的实际感受不同层次的学科味。
问题情境的设计,教学过程的展开,练习的安排要尽量体现发散思维,让学生真正在几何数学
的思维上有所提高。
关键字多样化学习不同层次练习一题多解发散思维
曾在初中三年级的“添加辅助线”教学过程中,根据学生的实际情况,课前要求每位学生收集3—5题有关三角形添加辅助线的典型练习,汇集到各组小组长处,各组组长组织小组成员互相讨论选择出3题具有代表性的题目上报到老师处,老师适当选择几个有层次性的展示出来作为课外作业,小组根据课外作业讨论寻找不同辅助线的添加方法,以达到“一题多解”,再通过课堂组织学生共同探讨何种“辅助线”的添加方法最有效。
这样,让学生来选教材,根据学生的需要来选教材,有利于调动学生课外学习数学的积极性与主动性。
更增加了学生的数学交流,其中学生敏捷的思路很令我折服。
《添加有效辅助线》的整堂练习课我采用“小组竞赛”的形式展开,让学生来当老师,让学生来当评委,对同班同学的思路、证明过程进行合理的评价并交流自己的心得体会。
例1:
如图,在四边形ABCD中,∠A=60ο,∠B=90ο,∠D=90οBC=2,CD=3,求AB的长度?
学生A(小组代表):
解:
延长AB,CD交F
∵∠A=60ο∠D=90ο(已知)
∴∠F=30ο(三角形三个内角之和为180度)
∵∠B=90οBC=2(已知)
∴CF=2BC=4(直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半)
AF=2AD(同上)
又∵CD=3
∴DF=CD+CF=7BF=
AD=AB=AF-BF=-=
学生B(小组代表):
解:
延长AD,BC交F
∵∠A=60ο∠B=90ο(已知)
∴∠F=30ο(三角形三个内角之和为180度)
∵∠D=90οCD=3(已知)
∴CF=2CD=6(直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半)
AF=2AB(同上)
又∵BC=2
∴BF=BC+CF=8
AB=
学生C(小组代表):
解:
分别过点B、C作BE⊥AD,CF⊥BE
∵BE⊥AD,CF⊥BE∠D=90οDC=3(已知)
∴EF=DC=3
在△BCF中
∵∠BCF=30ο∠BFC=90οBC=2(已知)
∴BF=1(直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半)
BE=EF+BF=4
在△ABE中
∵∠A=60ο∠AEB=90ο(已知)
∴AB=2AE=(直角三角形中30ο的角所对的直角边是斜边的一半)
学生D(小组代表):
解:
作∠C的平分线交AD于E,过点B作AD的垂线
∵CE平分∠BCDBF⊥AD∠A=60οBC=2(已知)
∴∠BCE=60ο∠ABF=30ο
∠CBO=∠B-∠ABF=60ο
△BCO是等边三角形
OB=OC=BC=2
又∵∠DEC=30οDC=3
∴EC=6(直角三角形中30ο的角所对的直角边是斜边的一半)
OE=CE-OC=4OF=2(同上)
BF=4AF=
∴AB=2AF=(直角三角形中30ο的角所对的直角边是斜边的一半)
例2:
如图,已知在△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C。
求证:
CD=AB+BD
学生A(小组代表):
证明:
在DC上取点E,使的BD=DE,并连接AE
∵AD⊥BCDB=DE(已知)
∴AB=AE;∠B=∠AEB(线段中垂线的性质定理)
∵∠B=2∠C;∠AEB=∠C+∠CAE=∠B
∴∠C=∠CAE(等量代换)
AE=CE;CD=CE+DE=AE+DB=AB+BD
即CD=AB+BD
学生B(小组代表):
证明:
作AC的中垂线交BC于E,并连接AE
∵EF⊥ACAF=CF(已知)
∴CE=AE
∠C=∠CAE(线段中垂线的性质定理)
∵∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C=∠B
∴AB=AE(等角对等边)
又∵AD⊥BC
∴BD=DE(线段中垂线的逆定理)
CD=CE+DE=AE+BD=AB+BD
即CD=AB+BD
学生C(小组代表):
证明:
延长DB到E,使得AB=BE,并连接AE
∵AB=BE(已知)
∴∠E=∠BAE(等边对等角)
∠ABC=∠BAE+∠E=2∠E(一个外角等于与它不相邻的两个内角和)
又∵∠ABC=2∠C(已知)
∴∠C=∠E(等量代换)
AC=AE(等角对等边)
又∵AD⊥BC
∴DC=DE(线段中垂线的逆定理)
即CD=AB+BD
本堂课的教材内容是学生自主选择、自主确定的缘故,课堂气氛空前高涨,几位代表同学的思维都很敏捷,介绍方法很有条理,学生学的效果很好。
看来,教学应该是以学生的动机和需要为中心展开的。
教学并非是忠实地执行官方课程文本的过程,而是师生共同决定学习内容、建构知识的过程,而实际上更应该是开发、创生课程的过程。
只有这样才能使师生的主体性与生命力的张扬、发展成为一个统一的过程。
学生从两个角度考虑:
(1)割补法,将长的线段分割成两段,其中一段通过作辅助线与求解的一段相等,再求解另一段与剩下一段的关系即可。
(2)“化曲为直法”,延长其中的一条线段,再求解。
……
数学课堂应该是充满生命活力的,充满着浓厚的趣味性和挑战性,数学课堂更应该体现数学的学科味,注重学生在每个45分钟内有效地锻炼数学思维的过程。
数学学习过程中,学生的个体差异表现在认知方式与思维策略的不同,以及认知水平与学习能力的差异。
教师要及时了解并尊重学生的个体差异,满足学生的多样化学习需求,让学生们根据自己的实际感受不同层次的学科味。
教学过程中鼓励提倡学生独立思考,以求解决问题策略的多样化,尊重学生在解决问题过程中表现出来的不同水平,不同层次。
问题情境的设计、教学过程的展开,练习的安排等要尽可能地让所有的学生主动参与,提出各自解决问题的策略,并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略,丰富解决问题的经验,提高思维水平。
教师的数学教学应该建立在学生自身经验、兴趣与动机的基础上,而不是老师以为地讲,学生一味地模仿、接受,我们要让学生们自己来发现问题、认识问题、探索并有效地解决问题,并为他们提供互相交流的平台,让他们在“做中学,学中做”的过程中不断成长。
让我们教师换一种姿态来与我们的学生交流,用一种全新的授课方式走进我们的数学课堂,让我们的学生正真体会到数学味!
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