初中三角函数基础知识完整剖析(全).doc
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初中三角函数基础知识完整剖析(全).doc
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初中三角函数完整剖析
一、重点、难点剖析
1.正切、余切与已学过的正弦、余弦是初中阶段必须理解并掌握的锐角三角函数,由于任意一个锐角都可以看作是直角三角形的一个角(显然这样的直角三角形都是相似的).因此,我们在直角三角形中,就可以对这个锐角A作出如下的定义:
sinA=, cosA=, tgA=, ctgA=.
其中a、b分别为∠A的对边和邻边,c为斜边.
学习锐角三角函数时首先要熟知定义,切不可以张冠李戴,只有在理解的基础上熟记,在运用中加深理解.
2.学习正切和余切时,要充分利用学过的正弦和余弦,经常地把它们加以比较,就会既见到许多相类似的地方,又重视它们的区别,不至于产生混淆.
如,在Rt△ABC中,∠C=90°.
c
A
B
a
C
b
sinA=cosB=;
cosB=sinB=;
tgA=ctgB=;
ctgA=tgB=.
这种互为余角的三角函数关系,为我们把它化为同角的三角函数创造条件,这在解题中是经常用到的.
若∠α、∠β都是锐角,且∠α>∠β.
则sinα>sinβ; tgα>tgβ;
cosα<cosβ;ctgα<ctgβ.
可见一个锐角的正弦值(或正切值)随着锐角的增大而增大;余弦值或余切值随着锐角的增大而减小,这就为比较三角函数值的大小提供了依据.
如,比较tg43°与ctg57°的大小
∵tg43°=tg(90°-47°)=ctg47°,而ctg47°>ctg57°
即tg43°>ctg57°
值得一提的事,比较两个三角函数值的大小,通常总是先把它们化为同名三角函数.
3.要熟记特殊角的三角函数值
学习正弦和余弦时已经知道,30°、45°、60°称为特殊角,对于这些角的各个三角函数值应用极为广泛,必须熟记.
角度α
函数值
函数
名称
30°
45°
60°
正弦
sinα
余弦
cosα
正切
tgα
1
余切
ctgα
1
怎样熟记呢?
正弦、余弦的30°、45°、60°值的分母都是2,而分子,正弦为(=1)、、;余弦为、、(=1),分别读作根号1、2、3;根号3、2、1.
正切、余切的30°、45°、60°值的分母都是3,分子则为()1、()2、()3,即
tg30°==,tg45°===1
tg60°===.余切则相反.
必须告诉大家,0°、90°也是特殊角,且
sin0°=0,cos0°=1,tg0°=0,ctg0°不存在;
sin90°=1,cos90°=1,tg90°不存在,ctg90°=0.
因此,今后我们指的特殊角是:
0°、30°、45°、60°、90°.
4.同角三角函数间的关系
同角三角函数间存在以下关系:
a
平方关系:
sin2α+cos2α=1;
商的关系:
tgα=,ctgα=;
倒数关系:
tgα=,ctgα=.
这些关系不仅在学习中,解题时用处很大,而且对这些关系的真正掌握也是有助于对三角函数定义的理解.如,
sin2α+cos2α
c
A
B
a
C
b
=()2+()2
==1(c2=a2+b2);
===sinα;
tgα·ctgα=·=1,即tgα=.
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