初中、小学数列找规律方法与题解.doc
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初中、小学
数列找规律方法与题解
江苏省泗阳县李口中学沈正中拟编解答
在初中、小学数学的一些赛题中,经常会出现数列找规律的问题,数列的题型多种多样,遵循的规律也各不相同,寻找规律的方法也非常灵活,下面举几例常见的题型探索一下,方法和解题思路。
1、等差数列
(1)、等差数列:
相邻两数的后一个数与前一个数差相等的数列叫等差数列。
在等差数列中,第n个数可以表示为:
an=a1+(n-1)d,其中a1为数列的第一个数,d为后一个数与前一个数的差。
【例1】在括号内填上所缺的数:
4、10、16、22、28、34、()、……。
【解析】:
因相邻两数的后一个数与前一个数差为6,所以第n个数是:
an=a1+(n-1)d,故a7=4+(7-1)×6=40,即括号内应为40。
(2)、“相邻两数的增加(或减少)值为等差数列”的数列。
这种数列第n个数也有一种通用求法。
基本思路是:
求出数列的第n-1个到第n个的增加(或减少)值(a2-a1)+(n-2)d,则第n个数是an=an-1+(a2-a1)+(n-2)d。
【例2】在括号内填上所缺的数:
3、7、15、27、()、……。
【解析】:
因数列的增加值分别为:
4、8、12、16、……,增加值为等差数列。
所以第n个数是:
an=an-1+(a2-a1)+(n-2)d,故a5=27+(7-3)+(5-2)×4=43,即括号内应为43。
这是通用解法,当然此题用分析观察的方法求出。
2、等比数列
(1)、等比数列:
相邻两数的后一个数与前一个数的比值相等
的数列叫等比数列。
在等比数列中,第n个数可以表示为:
an=a1qn-1,其中a1为数列的第一个数,q为后一个数与前一个数的比值。
【例3】在括号内填上所缺的数:
2、6、18、54、162、()、……。
【解析】:
因邻两数的后一个数与前一个数的比值为3,所以第n个数是:
an=a1qn-1,故a5=2×36-1=486,即括号内应为486。
(2)、“相邻两数的增加(或减少)值为等比数列”的数列。
这种数列第n个数也有一种通用求法。
基本思路是:
求出数列的第n-1个到第n个的增加(或减少)值(a2-a1)qn-2,则第n个数是an=an-1+(a2-a1)qn-2。
【例4】在括号内填上所缺的数:
3、5、9、17、33、()、……。
【解析】:
因数列的增加值分别为:
2、4、8、16、32、……,增加值为等比数列。
所以第n个数是:
an=an-1+(a2-a1)qn-2,故a6=33+(5-3)×26-2=65,即括号内应为65。
这是通用解法,当然此题用分析观察的方法求出。
3、其它的数列(非等差、等比数列)
只有用分析、观察和一些技巧的方法。
【例5】在括号内填上所缺的数:
2、2、4、4、6、8、8、16、()、……。
【解析】:
这个数列由等差数列2、4、6、8、……在前,等比数列2、4、8、16、……在后组成的交错数列,所以括号内应为10。
【例6】在括号内填上所缺的数:
1、3、2、5、3、7、4、9、()、……。
【解析】:
这个数列由自然数列1、2、3、4、……,在相邻两数之间插入这两个数的和组成的,所以括号内应为5。
【例7】在括号内填上所缺的数:
0、0、1、2、6、3、4、()、5、……。
【解析】:
这个数列由新规定自然数列0、1、2、3、4、5、……,从0开始向右依次两两一组,在每组中间插入这两个数的积组成的,所以括号内应为20。
【例8】在括号内填上所缺的数:
0、3、8、15、24、()、……。
【解析】:
容易发现,已知数列的每一项,都等于它的项数的平方减1。
因此,第n个数是:
an=n2-1,故a6=62-1=35,即括号内应为35。
类似题有:
an=n2+1、an=n2±2等。
【例9】在括号内填上所缺的数:
1、9、25、49、()、……。
【解析】:
观察发现,已知数列的各项,依次对应于1、3、5、7、……的平方,即第n个数是:
an=(2n-1)2,故a5=(2×5-1)2=81,即括号内应为81。
类似题有:
an=(2n+1)2、an=(2n±1)2等。
【例10】在括号内填上所缺的数:
2、9、28、65、()、……。
【解析】:
观察发现,已知数列的各项,依次对应于项数的三次方加1,即第n个数是:
an=n3+1,故a5=53+1=126,即括号内应为126。
类似题有:
an=n3-1、an=n3±2等。
【例11】在括号内填上所缺的数:
4、16、36、64、100、()、……。
【解析】:
观察发现,已知数列的每一项,都等于它的项数2倍的平方。
所以第n个数是:
an=(2n)2,故a6=(2×6)2=144,即括号内应为144。
类似题有:
an=(3n)2等。
【例12】在括号内填上所缺的数:
0、6、16、30、48、()、……。
【解析】:
观察发现,各项除以2,得0、3、8、15、24、……,而这个数列的每一项,都等于它的项数的平方减1。
所以原数列的第n个数是:
an=2(n2-1),故a6=2×(62-1)=70,即括号内应为70。
类似题有:
an=2(n2±1)、an=3(n2±1)等。
【例13】在括号内填上所缺的数:
5,7,11,19,35,67、()、……。
【解析】:
观察发现,后一项减前一项,得4、4、8、16、32、……,由此可看出原数列从第二项起,后一项等于前一项加2的(n-1)次方。
所以原数列的第n个数是:
an=an-1+2n-1,故a7=67+26-1=99,即括号内应为99。
类似题有:
an=an-1±2n±1。
【例14】在括号内填上所缺的数:
1、2、4、7、11、16、22、29、()、……。
【解析】:
观察发现,相邻两数依次相差:
1、2、3、4、5、6,、……,所以第n个数是:
an=an-1+n-1,故a9=29+8=37,即括号内应为37。
类似题有:
an=an-1+n+1等。
。
【例14】在括号内填上所缺的数:
2、5、10、17、26、37、50、()、……。
【解析】:
观察发现,相邻两数依次相差:
3、5、7、9、……,所以第n个数是:
an=an-1+2n-1,故a8=50+15=65,即括号内应为65。
类似题有:
an=an-1+2n+1等。
【例15】在括号内填上所缺的数:
8、12、16、20、24、、()、……。
【解析】:
仔细观察发现,依次是项数加1后乘以4所得数列,或原数列是数列9、16、25、36、49、……减去数列1、4、9、16、25、……对应项所得差组成,这两种说法实质上是一样的。
所以第n个数是:
an=4(n+1)=(n+2)2-n2,故a6=4(6+1)=28,即括号内应为28。
常见的还有以下规律:
an=n×(3n-2)
an=2n+1+1
an=n(n-1)
an=2n±1
an=n(n+1)(n+2)/3
an=n(n+1)/2
……;
项数依次+3、-1循环:
1、4、3、6、5、8、7、……
后一项等于前两项和:
1、1、2、3、5、8、……
奇数项1、2、3、4、5、……与偶数项2、4、8、16、……交错组合:
1、2、2、4、3、8、4、16、5、……
奇数项:
2、4、6、8、……与偶数项:
1、3、9、27、……交错组合:
2、1、4、3、6、9、8、27、10、……
分组数列n、3n、5n:
1、3、5、2、6、10、3、9、15、……
……。
总之,数列规律的类型是千变万化的,有的是所给数字间有规律,有的是隔一个数字间有规律。
还有的是相邻两个数字之间地差呈某种规律。
规律可能有同加同减同乘一个数或一个数列,或者平方等。
小学的找规律很简单,只有加、减、乘、除类型,不会有平方或多次方等类型。
中学的稍微难一些,又在平方的基础上加上了平方或多次方等。
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- 初中 小学 数列 规律 方法 题解