初三数学圆知识点总结.doc
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初三数学圆知识点总结
初三数学圆知识点总结
一、本章知识框架
二、本章重点
1.圆的定义:
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
2.判定一个点P是否在⊙O上.
设⊙O的半径为R,OP=d,则有
d>r点P在⊙O外;
d=r点P在⊙O上;
d 3.与圆有关的角 (1)圆心角: 顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质: 圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角: 顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质: ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角. (3)弦切角: 顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角. 弦切角的性质: 弦切角等于它夹的弧所对的圆周角. 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半. 4.圆的性质: (1)旋转不变性: 圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称: 圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论: (1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧. (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等. 5.三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心: 是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示. (2)三角形的外心: 是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示. (3)三角形重心: 是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示. (4)垂心: 是三角形三边高线的交点. 6.切线的判定、性质: (1)切线的判定: ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质: ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长: 从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理: 从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 7.圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等. 8.直线和圆的位置关系: 设⊙O半径为R,点O到直线l的距离为d. (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R. (2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R. (3)直线l和⊙O有两个公共点直线l和⊙O相交d 9.圆和圆的位置关系: 设的半径为R、r(R>r),圆心距. (1)没有公共点,且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R+r. (2)没有公共点,且的每一个点都在外部内含d (3)有唯一公共点,除这个点外,每个圆上的点都在另一个圆外部外切d=R+r. (4)有唯一公共点,除这个点外,的每个点都在内部内切d=R-r. (5)有两个公共点相交R-r 10.两圆的性质: (1)两个圆是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线. (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦,相切两圆的连心线经过切点. 11.圆中有关计算: 圆的面积公式: ,周长C=2πR. 圆心角为n°、半径为R的弧长. 圆心角为n°,半径为R,弧长为l的扇形的面积. 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为l的圆柱的体积为,侧面积为2πRl,全面积为. 圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为l,高为h的圆锥的侧面积为πRl,全面积为,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 【经典例题精讲】 例1如图23-2,已知AB为⊙O直径,C为上一点,CD⊥AB于D,∠OCD的平分线CP交⊙O于P,试判断P点位置是否随C点位置改变而改变? 分析: 要确定P点位置,我们可采用尝试的办法,在上再取几个符合条件的点试一试,观察P点位置的变化,然后从中观察规律. 解: 连结OP, P点为中点. 小结: 此题运用垂径定理进行推断. 例2下列命题正确的是() A.相等的圆周角对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.三点确定一个圆 D.平分弦的直径垂直于弦. 解: A.在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等,所以A不正确. B.等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧,因此B正确. C.三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆. D.平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦. 故选B. 例3四边形ABCD内接于⊙O,∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3,求∠D. 分析: 圆内接四边形对角之和相等,圆外切四边形对边之和相等. 解: 设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠D=∠A+∠C-∠B=2x. x+2x+3x+2x=360°, x=45°. ∴∠D=90°. 小结: 此题可变形为: 四边形ABCD外切于⊙O,周长为20,且AB︰BC︰CD=1︰2︰3,求AD的长. 例4为了测量一个圆柱形铁环的半径,某同学采用如下方法: 将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺,用如图23-4所示方法得到相关数据,进而可以求得铁环半径.若测得PA=5cm,则铁环的半径是__________cm. 分析: 测量铁环半径的方法很多,本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决,即过P点作直线OP⊥PA,再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角,这个角的另一边与OP的交点即为圆心O,再用三角函数知识求解. 解: . 小结: 应用圆的知识解决实际问题,应将实际问题变成数学问题,建立数学模型. 例5已知相交于A、B两点,的半径是10,的半径是17,公共弦AB=16,求两圆的圆心距. 解: 分两种情况讨论: (1)若位于AB的两侧(如图23-8),设与AB交于C,连结,则垂直平分AB,∴. 又∵AB=16 ∴AC=8. 在中,. 在中,. 故. (2)若位于AB的同侧(如图23-9),设的延长线与AB交于C,连结. ∵垂直平分AB, ∴. 又∵AB=16, ∴AC=8. 在中,. 在中,. 故. 注意: 在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时,要注意双解或多解问题. 三、相关定理: 1.相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 (经过圆内一点引两条线,各弦被这点所分成的两段的积相等) 说明: 几何语言: 若弦AB、CD交于点P,则PA·PB=PC·PD(相交弦定理) 例1.已知P为⊙O内一点,,⊙O半径为,过P任作一弦AB,设,,则关于的函数关系式为 。 解: 由相交弦定理得,即,其中 2.切割线定理 推论: 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 说明: 几何语言: 若AB是直径,CD垂直AB于点P,则PC^2=PA·PB 例2.已知PT切⊙O于T,PBA为割线,交OC于D,CT为直径,若OC=BD=4cm,AD=3cm,求PB长。 解: 设TD=,BP=,由相交弦定理得: 即 ,(舍) 由切割线定理, 由勾股定理, ∴ ∴ ∴ 四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线 1).作半径,利用同圆或等圆的半径相等. 2).作弦心距,利用垂径定理进行证明或计算,或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明. 3).作半径和弦心距,构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算. 4).作弦构造同弧或等弧所对的圆周角. 5).作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角. 6).遇到切线,作过切点的弦,构造弦切角. 7).遇到切线,作过切点的半径,构造直角. 8).欲证直线为圆的切线时,分两种情况: (1)若知道直线和圆有公共点时,常连结公共点和圆心证明直线垂直; (2)不知道直线和圆有公共点时,常过圆心向直线作垂线,证明垂线段的长等于圆的半径. 9).遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点. 10).遇到三角形的内心,常作: (1)内心到三边的垂线; (2)连结内心和三角形的顶点. 11).遇相交两圆,常作: (1)公共弦; (2)连心线. 12).遇两圆相切,常过切点作两圆的公切线. 13).求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线,将公切线平移成直角三角形的一条直角边. 2、圆中较特殊的辅助线 1).过圆外一点或圆上一点作圆的切线. 2).将割线、相交弦补充完整. 3).作辅助圆. 例1如图23-10,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=10,CD=8,那么AE的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 分析: 连结OC,由AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB知CD=DE.设AE=x,则在Rt△CEO中,,即,则,(舍去). 答案: A. 例2如图23-11,CA为⊙O的切线,切点为A,点B在⊙O上,如果∠CAB=55°,那么∠AOB等于() A.35° B.90° C.110° D.120° 分析: 由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB=2∠BAC=2×55°=110°.答案: C. 例3如果圆柱的底面半径为4cm,母线长为5cm,那么侧面积等于() A.B.C. D. 分析: 圆柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的一边长等于圆柱的高,即圆柱的母线长;另一边长是底面圆的周长,所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高,即.答案: B. 例4如图23-12,在半径为4的⊙O中,AB、CD是两条直径,M为OB的中点,延长CM交⊙O于E,且EM>MC,连结OE、DE,. 求: EM的长. 简析: (1)由DC是⊙O的直径,知DE⊥EC,于是.设EM=x,则AM·MB=x(7-x),即.所以.而EM>MC,即EM=4. 例5如图23-13,AB是⊙O的直径,PB切⊙O于点B,PA交⊙O于点C,PF分别交AB、BC于E、D,交⊙O于F、G,且BE、BD恰好是关于x的方程(其中m为实数)的两根. (1)求证: BE=BD; (2)若,求∠A的度数. 简析: (1)由BE、BD是关于x的方程的两根,得,则m=-2.所以,原方程为.得.故BE=BD. (2)由相交弦定理,得,即.而PB切⊙O于点B,AB为⊙O的直径,得∠ABP=∠ACB=90°.又易证∠BPD=∠APE,所以△PBD∽△PAE,△PDC∽△PEB,则,,所以,所以.在Rt△ACB中,,故∠A=6
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