初三数学反比例函数知识点及经典例题.doc
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初三数学反比例函数知识点及经典例题
来源:
家教
一、基础知识
1.定义:
一般地,形如(为常数,)的函数称为反比例函数。
还可以写成
2.反比例函数解析式的特征:
⑴等号左边是函数,等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数(也叫做比例系数),分母中含有自变量,且指数为1.
⑵比例系数
⑶自变量的取值为一切非零实数。
⑷函数的取值是一切非零实数。
3.反比例函数的图像
⑴图像的画法:
描点法
①列表(应以O为中心,沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数)
②描点(有小到大的顺序)
③连线(从左到右光滑的曲线)
⑵反比例函数的图像是双曲线,(为常数,)中自变量,函数值,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是或)。
⑷反比例函数()中比例系数的几何意义是:
过双曲线()上任意引轴轴的垂线,所得矩形面积为。
4.反比例函数性质如下表:
的取值
图像所在象限
函数的增减性
一、三象限
在每个象限内,值随的增大而减小
二、四象限
在每个象限内,值随的增大而增大
5.反比例函数解析式的确定:
利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出)
6.“反比例关系”与“反比例函数”:
成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。
7.反比例函数的应用
二、例题
【例1】如果函数的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的值是多少?
【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数,()即()又在第二,四象限内,则可以求出的值
【答案】由反比例函数的定义,得:
解得
时函数为
【例2】在反比例函数的图像上有三点,,,,,。
若则下列各式正确的是()
A.B.C.D.
【解析】可直接以数的角度比较大小,也可用图像法,还可取特殊值法。
解法一:
由题意得,,
,所以选A
解法二:
用图像法,在直角坐标系中作出的图像
描出三个点,满足观察图像直接得到选A
解法三:
用特殊值法
【例3】如果一次函数相交于点(),那么该直线与双曲线的另一个交点为()
【解析】
【例4】如图,在中,点是直线与双曲线在第一象限的交点,且,则的值是_____.
图
解:
因为直线与双曲线过点,设点的坐标为.
则有.所以.
又点在第一象限,所以.
所以.而已知.
所以.
三、练习题
1.反比例函数的图像位于()
A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限
2.若与成反比例,与成正比例,则是的()
A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定
3.如果矩形的面积为6cm2,那么它的长cm与宽cm之间的函数图象大致为()
o
y
x
y
x
o
y
x
o
y
x
o
A B C D
4.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,
气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)
的反比例函数,其图象如图所示.当气球内气压大于120kPa时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应()
A、不小于m3 B、小于m3 C、不小于m3 D、小于m3
5.如图,A、C是函数的图象上的任意两点,过A作轴的垂线,垂足为B,过C作y轴的垂线,垂足为D,记RtΔAOB的面积为S1,RtΔCOD的面积为S2则()
A.S1>S2B.S1 C.S1=S2D.S1与S2的大小关系不能确定 6.关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=的图象都经过点A(-2,1). 求: (1)一次函数和反比例函数的解析式; (2)两函数图象的另一个交点B的坐标; (3)△AOB的面积. 7.如图所示,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点,与x轴交于点C.已知点A的坐标为(-2,1),点B的坐标为(,m). (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. 8.某蓄水池的排水管每小时排水8m3,6小时可将满池水全部排空. (1)蓄水池的容积是多少? (2)如果增加排水管,使每小时的排水量达到Q(m3),那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化? (3)写出t与Q的关系式. (4)如果准备在5小时内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少? (5)已知排水管的最大排水量为每小时12m3,那么最少需多长时间可将满池水全部排空? .9.某商场出售一批名牌衬衣,衬衣进价为60元,在营销中发现,该衬衣的日销售量y(件)是日销售价x元的反比例函数,且当售价定为100元/件时,每日可售出30件. (1)请写出y关于x的函数关系式; (2)该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元,则其售价应为多少元? 10.如图,在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A(-2,1)、B(1,n)两点。 (1)求上述反比例函数和一次函数的表达式; (2)求△AOB的面积。 四、课后作业 1.对与反比例函数,下列说法不正确的是() A.点()在它的图像上 B.它的图像在第一、三象限 C.当时, D.当时, 2.已知反比例函数的图象经过点(1,-2),则这个函数的图象一定经过( ) A、(2,1)B、(2,-1)C、(2,4)D、(-1,-2) 3.在同一直角坐标平面内,如果直线与双曲线没有交点,那么和的关系一定是() A.+=0 B.·<0 C.·>0 D.= 4.反比例函数y=的图象过点P(-1.5,2),则k=________. 5.点P(2m-3,1)在反比例函数y=的图象上,则m=__________. 6.已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(-2,3)则m的值为__________. 7.已知反比例函数的图象上两点,当时,有,则的取值范围是? 8.已知y与x-1成反比例,并且x=-2时y=7,求: (1)求y和x之间的函数关系式; (2)当x=8时,求y的值; (3)y=-2时,x的值。 9.已知,且反比例函数的图象在每个象限内,随的增大而增大,如果点在双曲线上,求a是多少?
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