函数图像过定点问题的研究.doc
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函数图像过定点问题的研究.doc
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函数图像过定点的研究
题1:
求证:
拋物线y=(3-k)x2+(k-2)x+2k-1(k≠3)过定点,并求出定点的坐标.
归纳:
第一步:
对含有变系数的项集中;
第二步:
然后将这部分项分解因式,使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式;
第三步:
令后一因式等于0,得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化,都“失效”了);
第四步:
解此方程,得到x的值x0(定点的横坐标),将它代入原函数式(也可以是其变式),即得到一个y的值y0(定点的纵坐标),于是,函数图象一定过定点(x0,y0);
第五步:
反思回顾,查看关键点、易错点,完善解题步骤.
题2:
(2001年北京市西城区中考题)无论m为任何实数,二次函数的图像总过的点是()
A.(1,3) B.(1,0)C.(-1,3) D.(-1,0)
巩固练习:
1.无论m为何实数,二次函数y=x2﹣(2﹣m)x+m的图象总是过定点( )
A. (1,3) B. (1,0) C. (﹣1,3) D. (﹣1,0)
2.对于关于x的二次函数y=ax2﹣(2a﹣1)x﹣1(a≠0),下列说法正确的有( )
①无论a取何值,此二次函数图象与x轴必有两个交点;②无论a取何值,图象必过两定点,且两定点之间的距离为;③当a>0时,函数在x<1时,y随x的增大而减小;④当a<0时,函数图象截x轴所得的线段长度必大于2.
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
3.(2012•鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3(m≠0)的图象发现,随着m的变化,这个二次函数的图象形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图象总经过两个定点,请你写出这两个定点的坐标:
_________ .
4.某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2(m≠0)的图象发现,随着m的变化,这个二次函数图象的形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图象总经过两个定点.请你写出这两个定点的坐标:
_________ .
5.(2009•宜宾县一模)二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2,则这个函数的图象一定经过某一个定点,这个定点是 _________ .
6.无论m为何实数,二次函数y=x2﹣(2﹣m)x+m的图象总是过定点 _________ .
7.已知一个二次函数具有性质
(1)图象不经过三、四象限;
(2)点(2,1)在函数的图象上;(3)当x>0时,函数值y随自变量x的增大而增大.试写出一个满足以上性质的二次函数解析式:
_________ .
8.证明无论m为何值,函数y=mx-(4m-3)图像过定点,求出该定点坐标
9.(南京2011年24题7分)已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).
⑴求证:
不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.
10.已知二次函数的顶点坐标为(﹣,﹣),与y轴的交点为(0,n﹣m),其顶点恰好在直线y=x+(1﹣m)上(其中m、n为正数).
(1)求证:
此二次函数的图象与x轴有2个交点;
(2)在x轴上是否存在这样的定点:
不论m、n如何变化,二次函数的图象总通过此定点?
若存在,求出所有这样的点;若不存在,请说明理由.
函数图像过定点的研究
题1:
求证拋物线y=(3-k)x2+(k-2)x+2k-1(k≠3)过定点,并求出定点的坐标.
审题视角 有些函数的图象具有过定点的性质,这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的,例如,直线y=kx+b(k≠0),当b确定时,无论k取不等于0的任何值,它总过定点(0,b);物线线y=ax2+bx+c(a≠0),当c确定时,无论a、b取何值,它总过定点(o,c).
本题中可以把函数解析式整理变形,使含字母k的项组合于一组,赋值为零,可以求的自变量的值,而后代入函数解析式,再求得相对应的函数值,即得定点的坐标.
解:
整理抛物线的解析式,得
y=(3-k)x2+(k-2)x+2k-1
=3x2-2x-1-kx2+kx+2k
=3x2-2x-1-k(x2-x-2)(k≠3),
上式中令x2-x-2=0,得x1=-1,x2=2.
将它们分别代入y=3x2-2x-1-k(x2-x-2),
解得y1=4,y2=7,
把点(-1,4)、(2,7)分别代入y=3x2-2x-1-k(x2-x-2),
无论k取何值,等式总成立,
即点(-1,4)、(2,7)总在抛物线y=(3-k)x2+(k-2)x+2k-1(k≠3)上,
即拋物线y=(3-k)x2+(k-2)x+2k-1(k≠3)过定点(-1,4)、(2,7).
归纳:
第一步:
对含有变系数的项集中;
第二步:
然后将这部分项分解因式,使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式;
第三步:
令后一因式等于0,得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化,都“失效”了);
第四步:
解此方程,得到x的值x0(定点的横坐标),将它代入原函数式(也可以是其变式),即得到一个y的值y0(定点的纵坐标),于是,函数图象一定过定点(x0,y0);
第五步:
反思回顾,查看关键点、易错点,完善解题步骤.
题2:
(2001年北京市西城区中考题)无论m为任何实数,二次函数的图像总过的点是()
A.(1,3) B.(1,0)
C.(-1,3) D.(-1,0)
解法一、特殊值法
依据:
二次函数的图像随着m的取值不同,它的位置也随之变化,可见这是一个抛物线群。
如果这个抛物线群恒过某定点,则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点。
解:
任意给m赋予两个特殊值,不妨设m=0和m=2。
则函数解析式变为:
。
联立方程组
解得
把中,无论m为何值,等式总成立。
所以,抛物线群中所有的抛物线恒经过定点(1,3)。
故应选A。
解法二、变换主元法
依据:
一元一次方程的解有三种情形:
(1)当a≠0时,方程有惟一解:
;
(2)当a=b=0时,方程的解为全体实数;
(3)当a=0,b≠0时,方程无解。
这里所求定点坐标与m的值无关,相当于关于m的一元一次方程am=b(a、b为含x、y的代数式)中,a=b=0时的情形。
解:
将其二次函数整理变形为:
①
令
所以,无论m为何值时,(1,3)恒满足①式,故该二次函数的图像恒过定点(1,3)。
故应选A。
巩固练习:
1.无论m为何实数,二次函数y=x2﹣(2﹣m)x+m的图象总是过定点( )
A. (1,3) B. (1,0) C. (﹣1,3) D. (﹣1,0)
2.对于关于x的二次函数y=ax2﹣(2a﹣1)x﹣1(a≠0),下列说法正确的有( )
①无论a取何值,此二次函数图象与x轴必有两个交点;②无论a取何值,图象必过两定点,且两定点之间的距离为;
③当a>0时,函数在x<1时,y随x的增大而减小;④当a<0时,函数图象截x轴所得的线段长度必大于2.
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
3.(2012•鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3(m≠0)的图象发现,随着m的变化,这个二次函数的图象形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图象总经过两个定点,请你写出这两个定点的坐标:
_________ .
4.某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2(m≠0)的图象发现,随着m的变化,这个二次函数图象的形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图象总经过两个定点.请你写出这两个定点的坐标:
_________ .
5.(2009•宜宾县一模)二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2,则这个函数的图象一定经过某一个定点,这个定点是 _________ .
6.无论m为何实数,二次函数y=x2﹣(2﹣m)x+m的图象总是过定点 _________ .
7.已知一个二次函数具有性质
(1)图象不经过三、四象限;
(2)点(2,1)在函数的图象上;(3)当x>0时,函数值y随自变量x的增大而增大.试写出一个满足以上性质的二次函数解析式:
_________ .
8.证明无论m为何值,函数y=mx-(4m-3)图像过定点,求出该定点坐标
9.已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).
⑴求证:
不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.
解:
⑴当x=0时,.
所以不论为何值,函数的图象经过轴上的一个定点(0,1).
⑵①当时,函数的图象与轴只有一个交点;
②当时,若函数的图象与轴只有一个交点,则方程有两个相等的实数根,所以,.
综上,若函数的图象与轴只有一个交点,则的值为0或9.11.已知二次函数的10.顶点坐标为(﹣,﹣),与y轴的交点为(0,n﹣m),其顶点恰好在直线y=x+(1﹣m)上(其中m、n为正数).
(1)求证:
此二次函数的图象与x轴有2个交点;
(2)在x轴上是否存在这样的定点:
不论m、n如何变化,二次函数的图象总通过此定点?
若存在,求出所有这样的点;若不存在,请说明理由.
分析:
(1)把二次函数顶点坐标代入代入y=x+(1﹣m)得﹣+(1﹣m)=﹣,整理后利用因式分解得到(m﹣n)(m+1)=0,则m=n或m=﹣1(舍去),于是二次函数的顶点坐标为(﹣,﹣),与y轴的交点为(0,0),由m为正数可判断二次函数的顶点在第四象限,而抛物线过原点,所以抛物线开口向上,由此得到此二次函数的图象与x轴有2个交点;
(2)由
(1)得到抛物线的对称轴为直线x=﹣,抛物线与x轴的一个交点坐标为(0,0),利用对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣1,0)
(1)证明:
把(﹣,﹣)代入y=x+(1﹣m)得﹣+(1﹣m)=﹣,
整理得m2﹣mn+m﹣n=0,
∵(m﹣n)(m+1)=0,
∴m=n或m=﹣1(舍去),
∴二次函数的顶点坐标为(﹣,﹣),与y轴的交点为(0,0),
∵m为正数,
∴二次函数的顶点在第四象限,
而抛物线过原点,
∴抛物线开口向上,
∴此二次函数的图象与x轴有2个交点;
(2)解:
存在.
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣,抛物线与x轴的一个交点坐标为(0,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣1,0),
即不论m、n如何变化,二次函数的图象总通过点(﹣1,0)和(0,0).
反思:
本题考查了抛物线与x轴的交点:
求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标,令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标;二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系,△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数:
△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
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- 函数 图像 定点 问题 研究
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