四年级奥数教材精选Word格式.docx
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见右图,是一个7行7列的方阵,若去掉4行4列后,仍剩下一个小正方形方阵,因此去掉4行4列的总人数=原正方形方阵人数-剩下的小正方形方阵人数,且小正方形方阵每边人数=原正方形方阵每边人数-4,即
去掉的总人数=20×
20-(20-4)(20-4)
=400-256
=144(人)
去掉144人。
前三个例题涉及的都是实心方阵问题,下面我们看一些空心方阵问题。
例4
正方形舞厅四周均匀地装彩灯,如果四个角都装一盏,且每边装12盏,那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏?
从下左图中可以看出,角上的四盏灯各属于两行,所以彩灯总数应为:
12×
4-4=44(盏)
分析与解答二
按上右图可以把彩灯分成相等的四部分,因此彩灯总数为:
(12-1)×
4=44(盏)
这个舞厅四周共装彩灯44盏。
例5
游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵,最外边一层每边12人,问彩车周围少先队员共有多少人?
右图为一个两层空心方阵的示意图,不难发现,有如下特点:
(1)外层每边点的个数都比相临内层的每边点的个数多2;
(2)每相邻两层之间,点的总数相差8个最外层队员的总数:
4-4=44(人)
三层共有队员的总数:
44+(44-8)+(44-8×
2)
=44+36+28=108
见右图,可分成相等的四部分,每一部分的人数:
(12-3)×
3=9×
3=27(人)
三层共有队员数:
27×
4=108(人)
彩车周围的少先队员共有108人。
这个题还有别的解法,请同学们自己试着做一下。
例6
小明用围棋子摆了一个五层的空心方阵,共用了200个棋子,问最外层每边有多少个棋子?
利用相邻两层之间,每层的总数相差8的特点,可知最外层共有棋子数:
(200+8+8×
2+8×
3+8×
4)÷
5=56(个)
最外层每边的棋子数:
56÷
4+1=15(个)
见右图,把棋子分成想的相等的四部分。
每一部分的棋子数:
200÷
4=50(个)
每一部分每排的棋子数:
50÷
5=10(个)
10+5=15(个)
综合列式:
4÷
5+5=15(个)
最外面一层每边有棋子15个。
练一练
1.运动会入场式要求运动员排成一个9行9列的正方形方阵,如果去掉2行2列,要减少(
)名运动员。
2.参加军训的学生进行队列表演,排成了一个正方形队列,如果这个队列横竖各增加一排,还需补充39人,参加表演的学生有(
)人。
3.在一块正方形的场地四周插上彩旗,四个角上都插1面,每边插了32面,这块场地四周共需插(
)面彩旗。
4.小军用棋子摆成了一个三层空心方阵,最外面一层每边有棋子14个,小军摆这个方阵共用了(
)个棋子。
5.街心雕像四周用花盆摆成了一个四层的正方形花坛,共用了576盒花,最外层每边有(
)花盆。
6.128名学生原计划在彩车周围排成一个每边2层的方阵,后来决定在方阵外面再增加一层成为三层方阵,需要增加(
)名学生。
二、鸡兔同笼与假设
学法指导
1、看一看:
2元 2元 2元 2元 2元 2元
5元 5元 5元
2元币和5元币有( )张,共( )元。
如果错把2元币全部看成5元币,每张币多算了( )元,6元币多算了( )元。
2、填一填:
2元币和5元币有10张,共32元,假设把2元币全部看成5元币,一共是( )元,比原来多( )元,这是因为一张2元币看成5元币多算了3元,( )张2元币多算的钱数就是比原来多的钱数。
3、想一想:
5元 5元 5元 5元 5元 5元
5元 5元 5元
图中5元币9张,2元币0张,5元币比2元币多45张。
如果将一张5元币换成2元币,5元币减少5元,2元币增加2元,相差2+5=7元,5元币比2元币多( )元。
5元 5元
5元 5元
5元 5元
5元 5元
5元
如果将两张5元币换成2元币,5元币减少( )元,2元币增加( )元,5元币比2元币多( )元。
当5元币比2元币总数多3元时,有( )张5元币换成了2元币,算式是( )。
例1 停车场共停24辆车,其中有4个轮子的汽车和3个轮子的摩托车。
这些车共有86个轮子。
求汽车和摩托车各有多少辆?
分析与解答 假设这24辆车都是3个轮子,那么一共有3×
24=72个轮子。
比实际轮子数少了86-72=14个轮子。
为什么会少了14个轮子呢?
因为我们把4个轮子的汽车假设成3个轮子来计算了。
每辆汽车少算了(4-3)个轮子。
14÷
1=14说明这24辆车中有14辆是汽车。
有24-14=10辆摩托车。
(86-3×
24)÷
(4-3)=14(辆)
24-14=10(辆)
汽车有14辆,摩托车有10辆。
想一想:
假设这24辆都是4个轮子的,那该怎样解答呢?
例2 松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个。
它一连采了112个松籽,平均每天采14个。
问这几天中有几天下雨?
分析与解答 由112÷
14=8(天)可以知道,松鼠妈妈一共采了8天松籽。
假设8天都是晴天,应该采20×
8=160(个)。
比实际采到的多160-112=48(个)。
怎么会多算出48个呢?
因为这8天中有雨天,每个晴天比每个雨天多采20-12=8(个)。
48里面有6个8,所以有6天是雨天。
112÷
14=8(天)
(20×
8-112)÷
(20-12)=6(天)
这几天中有6天下雨。
也可以假设这8天都是雨天,请你用这样的假设再算一算有几天下雨?
例3 数学竞赛抢答题共10道题,规定答对一题得15分,答错一题倒扣10分(不答按答错计算)。
小敏回答了所有的问题,结果共得100分,问:
答对和答错各几题?
分析与解答 假设小敏10道题都答对了,应该得15×
10=150(分)。
比实际分多算了150-100=50分。
因为这10道题中有做错的题,每做错一题,不仅不能得15分,而且还倒扣10分。
也就是说,错一题就减少15+10=25(分)。
25=2,所以,小敏答错了2道题,答对了8道题。
(15×
10-100)÷
(15+10)=2(道)
10-2=8(道)
小敏答对8道题,答错2道题。
例4 某农民养鸡兔若干只。
已知鸡比兔多13只,鸡的脚比兔的脚多16只。
问鸡和免各有多少只?
分析与解答 假设兔子也只有2只脚,那么,鸡比兔多13只,鸡的脚就应该比兔的脚多2×
13=26(只)。
实际上鸡的脚只比兔的脚多16只,怎么会多出了26-16=10(只)脚呢?
因为兔子有4只脚,每只兔子少算了2只脚。
10里面有5个2,所以有5只兔子。
有5+13=18只鸡。
(2×
13-16)÷
(4-2)=5(只)
5+13=18(只)
鸡有18只,兔有5只。
例5 五
(1)班50名同学为灾区人民捐款。
平均每个女同学捐8元,每个男同学捐5元。
已知全班女同学共比男同学多捐101元,求这个班男、女同学各多少人?
分析与解答 假设五
(1)班男、女生各25人。
那么同学共捐款8×
25=200(元);
男同学共捐款5×
25=125(元)。
女同学比男同学多捐200-125=75元,比实际少算了101-75=26(元)。
这说明女同学人数要比25人多,每减少一个男同学后增加一个女同学,女同学的捐款数就会增加8+5=13(元)。
26元里有2个13元,所以,要减少2个男生,增加2个女生,即男同学25-2=23(人),女同学25+2=27(人)。
设男、女生各25人。
101-(8×
25-5×
25)=26(元)
26÷
(8+5)=2(人)
25+2=27(人)
25-2=23(人)
五
(1)班男生有23人,女生有27人。
例6 有面值分别为拾元、伍元、贰元的人民币34张,共值178元。
拾元的张数和伍元的张数同样多。
拾元、伍元和贰元的人民币各多少张?
分析与解答 这题中有3个未知量。
①假设34张人民币都是贰元币,共值2×
34=68(元)。
②比原来少了178-68=110(元),为什么?
③是因为把拾元和伍元币当作贰元币了。
把拾元币、伍元币各一张算成2元币,少算了10+5-(2+2)=11(元)
④拾元币、伍元币各几张少算了110元?
110÷
11=10(张)。
贰元的张数为34-10×
2=14(张)。
(178-2×
34)÷
[10+5-(2+2)]
=110÷
11
=10(张)
34-10×
2=14(张)
拾元币10张;
伍元币10张;
贰元币14张。
例7 一群公猴、母猴和小猴共38只,每天共摘桃266个。
已知一只公猴每天摘桃10个,一只母猴每天摘桃8个,一只小猴每天摘桃5个。
已知公猴比母猴少4只。
那么这群猴子中,小猴有多少只?
分析与解答 题中公猴、母猴和小猴的只数不一样,每天摘桃数也不一样,似乎无法把某两类合并。
但可根据条件“公猴比母猴少4只”,假设公猴和母猴一样多,共可摘桃266+10×
4=306(个),这样公猴与母猴的只数一样了,就可以把它们视为一类。
再假设38+4=42(只)猴全部是小猴,一天共摘桃5×
42=210(个),与条件306个相比少306-210=96(个),因为把公猴和母猴都假设成小猴了。
为了使猴子总数不变,须拿1只公猴和1只母猴换2只小猴,每天摘的桃子数就少10+8-5×
2=8(个),所以公猴、母猴各有96÷
8=12(只)。
而实际上公猴只数比母猴少4只,所以公猴有12-4=8(只),小猴有38-12-8=18(只)
[266+10×
4-5×
(38+4)]÷
(10+8-5×
=[266+40-210]÷
8
=96÷
=12(只)
38-(12-4+12)=18(只)
小猴有18只。
1.有10分和20分的邮票共18张,总面值为2.80元。
10分邮票(
)张,20分的邮票(
)张。
2.小兔妈妈采蘑菇。
晴天每天可采16次,雨天每天只能采11次,它一共采了195次,平均每天采13次。
这几天中有(
)天雨天。
3.李华参加射击比赛,共打20发。
约定每中一发记10分,脱靶一发则倒扣6分,结果得了168分。
他一共打中了(
)发。
4.鸡兔同笼,共有27个头,72只脚。
笼中鸡(
)只、兔(
)只。
5.五
(2)班52位同学参加植树。
男生每人种3棵,女生每人种2棵,已知男生比女生多种36棵。
五
(2)班有(
)位男生。
6.大、中、小型卡车共42辆,每次共运货315箱。
已知每辆大卡车每次能运10箱,每辆中卡车每次能运8箱,每辆小卡车每次能运5箱。
又知中卡车的辆数和小卡车同样多。
大卡车有(
)辆。
7.有面值分别为拾元、伍元、贰元的人民币27张,共108元。
拾元的的张数比伍元的少7张,那么拾元(
)张、伍元(
)张和贰元(
三、盈亏问题与比较
1、说一说:
(1)9人栽树,若每人栽5棵,一共栽( )棵,若每人栽7棵,共栽( )棵。
第二种方案的结果比第一种方案多栽( )棵。
算式 ×
- ×
( - )×
9,第二种解法的道理是( )。
(2)有学生若干人参加植树活动,每人栽2棵的结果与每人栽5棵的结果相差24棵,( )人参加植树,算式是( ),道理是( )。
2、想一想:
(1)
学校买来一批图书,按第一种方案分,结果多14本。
按第二种方案分,结果少4本;
第二种方案的结果比第一种方案的结果多( )本,如果两种方案每班分的本数相差2本,这个学校有( )个班。
(2)
学校买来一批图书,按第一种方案分,结果多14本;
按第二种方案分,结果多6本。
第二种方案的结果比第一种方案的结果多( )本。
(3)
学校买来一批图书,按照第一种方案分,结果少14本;
按第二种方案分,结果少6本,第一种方案的结果比第二种方案的结果多( )本。
像以上通过比较,把若干个物品平均分给若干人(人数一定)的两种分配方案和分配后出现的余数,求分配的总人数和总数量的应用题叫盈亏问题。
例1 小明去买练习本,他付给营业员的钱买4本多1元,买6本又差2元。
小明付给营业员多少钱?
每本练习本多少元?
分析与解答 首先画线段图看一看
由题意可知,小明付的钱数和每本练习本的价钱是不变的。
比较两种购买方案,结果相差1+2=3(元),即第二种购买方案比第一种要多3元钱。
为什么要多用3元钱呢?
因为第二种方案比第一种多买6-4=2(本),所以用3÷
2=1.5(元)就是每本练习本的价钱。
再用1.5×
4+1=7(元)就是小明付给营业员的钱了。
1、请写出解答计划
(1)
(2)
1+2=3(元) 6-4=2(本)
(3) (4)
3÷
2=1.5(元) 1.5×
4+1=7(元)
2、综合算式
(1+2)÷
(6-4)=1.5(元)
1.5×
小明付给营业员7元;
每本练习本1.5元。
例2 六
(1)班第一小队的同学去栽树,如果每人栽8棵则少27棵;
如果每人栽6棵则少5棵。
六
(1)班第一小队有多少个同学?
他们要栽多少棵树?
分析与解答 我们先写出题中的已知条件和问题再进行观察:
每人栽8棵 少27棵
每人栽6棵 少5棵
从题意可知,六
(1)班第一小队学生人数和树的总棵数是不变的。
比较这两种不同的方案的结果可知,第一种方案要比第二方案多27-5=22(棵)。
为什么会多22棵呢?
因为第一种方案比第二种方案每人多栽8-6=2棵。
每人多栽2棵,多少人就多栽22棵呢?
22÷
2=11(人)。
这就是这个小队的人数。
再用6×
11-5或8×
11-27就可以求出一共要栽多少棵树了。
(27-5)÷
(8-6)=11(人)
6×
11-5=61(棵)
六
(1)班第一小队有11个同学,他们要栽61棵树。
例3 老师将一批铅笔奖给三好学生,每人4支多10支;
每人6支多2支。
问:
三好学生有多少人,铅笔有多少支?
分析与解答 先写出已知条件和所求问题进行观察:
每人4支 多10支
每人6支 多2支
由题意可知,三好生人数和铅笔的总支数是不变的。
第二种分法要比第一种分法多分掉10-2=8支铅笔。
为什么会多分掉8支铅笔呢?
因为第二种分法比第一种分法每人多分2支铅笔。
每人多分2支,8÷
2=4(人),说明有4个三好学生。
共有4×
4+10=26(支)铅笔。
(10-2)÷
(6-4)=4(人)
4×
4+10=26(支)
三好学生有4人,铅笔有26支。
例4 某校五年级学生去人民公园划船,若每条船坐5人,有15人没有座位;
如果每条船坐6人,则多2条船。
求公园里有多少条船?
五年级有学生多少人?
分析与解答
每条船5人 多15人
每条船6人 空2条船
根据题意“每条船坐6人则空出2条船”可转化为每条船坐6人则少6×
2=12(人),这样两种方案结果就可以进行比较。
第一种方案多出15人,第二种方案少12人,两个方案的结果就相差15+12=27(人),每条船相差6-5=1(人),船的条数是27÷
1=27(条);
人数为5×
27+15=150(人)。
(15+6×
2)÷
(6-5)
=27÷
1
=27(条)
5×
27+15=150(人)
公园里有27条船,五年级有150个学生。
例5 一些学生分练习本。
其中两人每人分6本,其余每人分4本,就会多4本;
如果有一人分10本,其余每人分6本,就会少18本。
这些学生有多少人?
练习本有多少本?
分析与解答 根据题意,把其中两人分6本,其余每人分4本就多4本,转化成每人分4本就多4+(6-4)×
2=8(本);
再把如果1人分10本,其余每人分6本就少18本,转化成每人分6本,就少18-(10-6)=14(本)。
然后再根据前面所学的方法进行计算。
每人4本 多8本
每人6本 少14本
比较两种方案,第二种分法比第一种多分14+8=22(本),是因为第二种分法比第一咱分法每人多分了6-4=2(本),所以一共有22÷
2=11(人),练习本有4×
11+8=52(本)。
4+(6-4)×
2=8(本)
18-(10-6)=14(本)
(14+8)÷
(6-4)=11(人)
11+8=52(本)
这些学生有11人,练习本有52本。
例6 小波从家去体育馆参加比赛,先以每分钟50米的速度走了4分钟后,发现这样走下去,就要迟到6分钟;
后来他改变速度,每分钟走65米,结果提前3分钟到达。
小波家和体育馆相距多少米?
分析与解答 由每分钟走50米,要迟到6分钟,可知体育馆进行比赛时,小波离体育馆有50×
6=300(米);
由每分钟走65米,早到3分钟,可知体育馆进行比赛时,他还可以走65×
3=195(米)。
每分钟50米 少300米
每分钟65米 多195米
比较两种方案,每分钟相差65-50=15(米),结果相差300+195=495(米)。
时间为495÷
15=33(分),即准时到达体育馆还要行33分钟,先行了4分钟,一共要行33+4=37(分钟),小波家与体育馆相距50×
(37+6)=2150(米)。
50×
[(50×
6+65×
3)÷
(65-50)+4+6]
=50×
[495÷
15+10]
[33+10]
=2150(米)
小波家和体育馆相距2150米。
例7 猴王给小猴分桃子,如果每只小猴分8个桃子,还剩10个桃子;
如果每只小猴分9个桃子,那么就有一只小猴分不足9个,但仍可以分到桃子。
有多少只小猴子?
分析与解答 先写出题中的已知条件和问题
每只猴8个 多10个
每只猴9个 不足9个
“每只猴9个桃,有一只猴不足9个,但仍可以分到。
”不足9个可以是8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个。
所以本题有多种答案。
如最后一只小猴分到1个,即每只猴分9个桃,桃子总数少8个,则小猴只数是:
(10+8)÷
(9-8)=18(只)
如最后一只小猴分到1个,即每只猴分9个桃,桃子总数少7个,则小猴只数是:
(10+7)÷
(9-8)=17(只)
如最后一只小猴分到1个,即每只猴分9个桃,桃子总数少6个,则小猴只数是:
(10+6)÷
(9-8)=16(只)
·
如最后一只小猴分到1个,即每只猴分9个桃,桃子总数少1个,则小猴只数是:
(10+1)÷
(9-8)=11(只)
可能有18只、17只、16只、15只、14只、13只、12只或11只小猴。
1.小明去买橘汁,他付给营业员的钱买3瓶多1元,买5瓶又差5元。
每瓶橘汁(
)元。
2.小红把自己的一些连环画借给她的几位同学。
若每人借5本则差17本;
若每人借3本,则差1本。
小红的同学有(
)人,她一共有(
)本连环画。
3.幼儿园小朋友分五角星。
每人分8个还多20个;
每人分9个还多2个。
有(
)个小朋友,共有(
)个五角星。
4.某校安排学生宿舍,如果每间住12人,就会有34人没有宿舍住;
如果每间住14人,就会空出4间宿舍。
这所学校有(
)间宿舍,要安排(
)个新生。
5.大猴子采到一堆桃子,平均分给小猴吃。
每只小猴分10个桃子,有2中猴没有分到;
第二次重分,每只小猴他8个桃子,刚巧分完。
一堆桃子有(
)个,小猴有(
6.小华从家到学校。
她以每分钟40米的速度走了2分钟后,发现这样走下去要迟到2分钟;
后来她改用每钟50米的速度前进,结果提前2分钟到校。
小华家到学校有(
)米。
四、消去法
爸爸和叔叔去买水果,爸爸买了一箱苹果和一箱梨,共付25元;
叔叔买了2箱苹果和一箱梨,共付40元。
一箱苹果和一箱梨各多少元?
苹果(箱)
梨(箱)
总价(元)
爸爸
25
叔叔
叔叔比爸爸多付( )元,因为叔叔比爸爸多买了( )箱苹果。
所以,一箱苹果( )元,一箱梨( )元。
小明买了3本练习本和4支铅笔,共用去10元钱;
小刚买了同样的3本练习本和6支铅笔,共用去12元钱。
一本练习本多少元?
一支铅笔多少元?
练习本(本)
铅笔(支)
小明
3
4
10
小刚
6
12
小明和小刚比,小刚比小明多买了( )支铅笔,多用了( )元钱。
所以,一支铅笔( )元。
知道了铅笔的价钱,怎样求每本练习本多少钱呢?
在一些较复杂的应用题中,有的是由两个或多个量的某种关系构成的,解题时我们可以先把每组的数量用等式表示,然后进行比较,将其中的
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