八年级数学多边形及其内角和(含解析答案).doc
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多边形和内角和
练习题
温故而知新:
1.多边形
多边形的内角和:
n边形内角和等于_(n-2)·180°__
多边形的外角和:
任意多边形外角和等于__360°_
多边形的对角线:
凸n边形共有__条对角线。
2.平面镶嵌
定义:
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)问题.
说明:
正三角形、正方形和正六边形可以镶嵌平面图案,正五边形不能镶嵌平面图案.
多边形的对角线
例1今年暑假,佳一学校安排全校师生的假期社会实践活动,将每班分成三个组,每组派1名教师作为指导教师,为了加强同学间的联系,学校要求该班每两人之间(包括指导教师)每周至少通一次电话,现知该校七
(1)班共有50名学生,那么该班师生之间每周至少要通几次电话?
为了解决这一问题,小明把该班师生人数n与每周至少通话次数s之间的关系用下列模型表示,如图。
解析:
师生53人看作是53边形的53个顶点,n边形的对角线条数公式为:
。
答案:
解:
将七
(1)班师生53人看作是53边形的53个顶点,由多边形对角线条数公式得
所以1325+53=1378次。
答:
该班每周师生之间至少要通1378次电话
小结:
(1)建立数学模型是解决实际问题的基本方法;
(2)n边形的对角线的条数公式是
多边形的内角和与外角和
例2已知一个多边形的外角和等于内角和的1/3,求这个多边形的边数。
解析:
多边形的外角和为360°,根据多边形的内角和及外角和列方程.
答案:
解:
设这个多边形的边数为n,根据题意,得
解得n=8
答:
这个多边形的边数是8.
小结:
利用方程求解是解决此类问题的一般方法。
例3如图,小陈从O点出发,前进5米后向右转20°,再前进5米后又向右转20°,……这样一直走下去,他第一次回到出发点O时一共走了()
A.60米B.100米C.90米D.120米
解析:
根据多边形的外角和求出这个多边形的边数。
答案:
多边形的边数为360°÷20=18,
所以他第一次回到出发点O时一共走了18×5=90(米).
举一反三:
1、一个多边形截取一个角后,形成的另一个多边形的内角和是1620°,则原来多边形的边数是()
A、10B、11C、12D、以上都有可能
解析:
设截后的多边形的边数为n,则(n-2)·180°=1620°,n=11,所以原来的多边形可能是10或11或12边形.故选D.
常见的星形角度和
例4如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=___
解析:
连接DH,则∠3+∠4=∠KDH+∠KHD,所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的和即为五边形ABGHD的内角和.
答案:
解:
连接DH,则∠3+∠4=∠KDH+∠KHD,
所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的和就等于五边形ABGHD的内角和。
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×180°=540°
例5如图所示,CD∥AF,∠CDE=∠BAF,AB⊥BC,∠C=124°,∠E=80°,试求∠F的度数。
发现这个题目直接去解决也不是很容易,我们应该作一条辅助线,这样也许能方便我们解决问题。
答案一:
解:
延长CB交FA的延长线于G(如图)
因为CD∥AF,所以∠C+∠G=180°,
所以∠G=180°-∠C=180°-124°=56°,
所以∠BAF=∠G+∠GBA=56°+90°=146°
所以∠D=∠BAF=146°
因为∠FAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F
=(6-2)×180°=720°
所以∠F=720°-90°-124°-2×146°-80°=134°。
答案二:
解:
连接AD(如图)
因为CD∥AF,所以∠1=∠2
在四边形ABCD中,AB⊥BC,所以∠B=90°。
所以∠BAD+∠1=∠BAD+∠2=∠BAF
=360°-(90°+124°)=146°
在四边形ADEF中,∠2+∠ADE=∠CDE=∠BAF=146°。
所以∠F=360°-(146°+80°)=134°(四边形内角和等于360°)。
缺角多边形的边数的求法
例6佳一学校小聪在进行多边形的内角和的计算时,求得内角和为1680°,当他检查时发现答案错了,少加一个内角,你能找出这个内角吗?
这个多边形是几边形?
解析:
n边形的内角和为(n-2)·180°,少加的一个内角度数在0°~180°之间.
答案:
解:
设少加的一个内角为x,依题意有
。
解得
因为,又n为整数,,所以x=120°
答:
这个内角是120°,这是一个12边形。
小结:
本题考查了多边形内角和公式,根据多边形的边数为正整数求解,问题中如果出现两个未知量,但相等关系只有一个,这就需要借助不定方程求解.
下面我们来看检验一下自己的所学;
举一反三:
1、过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,k边形共有k条对角线,则=____
解析:
由m-3=7,得m=10.
n边形没有对角线,所以n=3.
故原式=125.
2、如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。
解析:
观察图形可得,题图由一个四边形和一个三角形构成,可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和.
答案:
解:
因为∠A+∠C+∠E=180°,
又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°,
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
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- 八年 级数 多边形 及其 内角 解析 答案