八年级数学竞赛试卷(第二试).doc
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八年级数学竞赛试卷(第二试).doc
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学校姓名准考证号
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八年级数学竞赛试卷
第2试
(考试时间:
2010年12月18日9∶30—11∶30)
题号
1—5
6—10
11
12
13
总分
得分
评卷人
复评人
一.选择题(每小题6分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的)
1.有两堆数量相同的棋子.第一堆全为白色,第二堆全为黑色.现在从第一堆中取出若干个白棋子,将其放入第二堆中,充分混合后,从第二堆棋子中随机取出同样多的棋子(棋子中可能有黑有白)放到第一堆中,此时两堆棋子的数量又相同了,则下列说法正确的是()
A.此时第一堆中黑棋子的数量大于第二堆中白棋子的数量
B.此时第一堆中黑棋子的数量等于第二堆中白棋子的数量
C.此时第一堆中黑棋子的数量小于第二堆中白棋子的数量
D.此时第一堆中黑棋子的数量与第二堆中白棋子的数量,两者大小关系无法确定
2.盒中原有8个小球,一位魔术师从中任意取几个小球,把每一个小球都变成了8个小球,将其放回盒中,他又从盒中任取一些小球,把每一个小球又都变成了8个小球后放回盒中,如此进行到某一时刻魔术师停止取变球时,盒中球的总数可能是()
A.2003个B.2004个C.2005个D.2006个
3.某个游泳池有2个进水口和一个出水口,每个进水口的进水量与时间的关系如图1所示,出水口的出水量与时间的关系如图2所示,某天早上5点到10点,该游泳池的蓄水量与时间的关系如图3所示.
图3
图2
图1
在下面的论断中:
①5点到6点,打开进水口,关闭出水口;
②6点到8点,同时关闭两个进水口和一个出水口;
③8点到9点,关闭两个进水口,打开出水口;
④10点到11点,同时打开两个进水口和一个出水口.
可能正确的是()
A.①③B.①④C.②③D.②④
4.如图,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,在斜边AB上取两点M、N,使∠MCN=45°.设MN=x,BN=n,AM=m,则以x、m、n为边的三角形的形状为()
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.随x、m、n的值而定
5.一根长30厘米、宽3厘米的长方形纸条,将其按照图示的过程折叠.为了美观,希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等,则最初折叠时,MA的长应为().
A.7.5厘米B.9厘米C.10.5厘米D.12厘米
_
B
_
A
_
P
_
M
二.填空(每小题6分,共30分)
6.如图,已知△ABC是一个等边三角形,它的边AB长为3,D、E、
F分别是AB、BC、CA的三等分点,则△DEF的边长为___。
7.魔术师要求一个游戏参加者想好一个三位数,然后调换所想
三位数的数字顺序,得到5个数并求出
这5个数的和N。
魔术师声称,只要游戏者告诉他N的大小,他就能知道游戏参加者所
想的数是多少。
如果N=2630,那么的值可能是.
8.某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘(如图),
并规定:
顾客每购买100元的商品,就能获得一次转动转盘的
机会。
如果转盘停止后,指针正好对准红、黄或绿色区域(图
中未标注的都为白色区域),顾客就可以分别获得100元、50
元、20元的购物券,凭此券可以在该商场继续购物。
如顾客不
愿意参加摇奖,可以直接获赠购物券10元。
如果有足够多次的
机会参加活动,你愿意参加摇奖还是直接获赠购物券,哪种方
式更合算,说明理由:
9.已知a*b=ab(a+1),则等式2*x=x*5中的x=.
10.桌上有五枚硬币,每次操作,选择其中4个硬币并将它们翻转过来,即如果原来含国徽的一面朝上,将盖面朝下,原来含国徽的一面朝下,将该面朝上。
如果开始的时候,五枚硬币有国徽的一面都朝上,你能经过若干次操作将这些硬币都翻转过来吗?
如能,写出你的翻转过程,如不能,说明理由:
。
学校姓名准考证号
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三.解答题(第11、12題各15分,13題30分,共60分)
11.某租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地收割小麦,其中30台派往A地,20台派往B地.两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下:
甲型收割机的租金
乙型收割机的租金
A地
1800元/台
1600元/台
B地
1600元/台
1200元/台
(1)设派往A地x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元),请用x表示y,并注明x的范围.
(2)若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元,说明有多少种分派方案,并将各种方案写出.
12.对于任意线段AB,可以构造以AB为对角线的矩形ACBD。
连接CD,与AB交于A1点,过A1作BC的垂线段A1C1,垂足为C1;连接C1D,与AB交于A2点,过A2作BC的垂线段A2C2,垂足为C2;连接C2D,与AB交于A3点,过A3作BC的垂线段A3C3,垂足为C3,……,如此下去,可以依次得到点A4,A5,……,An.如果设AB的长为1,则
(1)A1B,A2B,A3B的长依次是多少?
你是怎么得到的,写出你的过程。
(2)一般地,你能猜想出AnB的长(用n的代数式表示)吗?
并说明你猜想的正确性。
D
A
A1
A2
A4
A3
C3
C2
C1
B
C
学校姓名准考证号
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13.如图的格点图中,每行(列)相邻两个格点之间都相距1个长度单位。
(1)如图,格点C与格点A、B构成的三角形ABC的面积是2,还有一些格点与格点A、B构成的三角形面积也是2,请找出所有这样的格点,并在图上标示出来。
(2)有些格点与格点A、B可以构成等腰三角形ABD,请你找出所有这样的格点D,并在图中标出。
(3)问题
(2)所得到的等腰三角形中有没有等边三角形?
如有,将它们标示出来;
如没有,思考:
在下面的8*8格点图中,是否存在以格点为顶点的等边三角形,如果存在,请标示出来,如果不存在,说明理由,一般地,对于任意大的格点图(如100*100个点的格点图),这个结论是否成立?
为了说明方便,可以建立适当的坐标系,在坐标系中说明哟!
(4)问题
(2)所得到的等腰三角形中有没有以AB为腰的等腰直角三角形,有没有以AB为底的等腰直角三角形?
一般地,在充分大的格点图中,对于任意给定的两个格点,是否一定存在以这两个格点所在线段为腰的等腰直角三角形?
如果一定有,说明你的构造方法;如果不一定有,思考:
对于什么样的两点(即两点的坐标之间满足什么条件时)有。
在充分大的格点图中,对于任意给定的两个格点,是否一定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直角三角形?
如果一定有,说明你的构造方法;如果不一定有,思考:
对于什么样的两点(即两点的坐标之间满足什么条件时)有。
2005年宁波市蛟川杯初二数学竞赛试卷第2试
参考答案及评分意见
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.B2.A3.D4.B5.C
二、填空题(每小题6分,共30分)
6.7.256
8.参加摇奖更合算,因为大量次数摇奖的平均收益为100*5%+50*10%+20*20%=14,大于直接获得奖券的10元。
9.0或1/5
10.不能。
记国徽朝上的状态为1,朝下为-1,每次操作改变4个数字的符号,5个数字的积不变。
因此目标状态不可能由1变为-1.
注意也可用奇数、偶数知识说明。
三、解答题(60分)
11.
(1)7分
9分
(2)三种方案,依次为x=28,29,30的情况15分
12.
(1)A1BA2B=A3B(解答应有过程)8分
(2)AnB=10分
说理(略)15分
13.
(1)C1、C2、C3、C4,如图:
(2)D1、D2、D3、D4等9点,如图:
13分
(3)问题
(2)所得到的等腰三角形中没有等边三角形。
在8*8格点图乃至任意大的格点图中,都没有格点为顶点的等边三角形。
说理方式很多,如可以将其中一个顶点选为坐标原点,分析另外两个顶点坐标的奇偶性,分别给予排除;也可以将其中一个顶点选为坐标原点后,分别设另两个顶点的坐标为(a,b),(c,d),证明a2+b2=c2+d2=(a-c)2+(b-d)2无整数解。
(4)问题
(2)所得到的等腰三角形中
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