八年级数学全等三角形一对一辅导讲义(1).docx
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八数第二周辅导资料(TH)2016.09.10
辅导内容:
全等三角形
(1)
知识梳理:
一、全等图形(概念及其性质)
二、全等三角形(概念及其性质)
三、全等三角形的判定
(1)、判定全等三角形的方法:
(2)、找全等三角形的方法:
(1)可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中;
(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等;
(3)从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等;
(4)若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素:
边和角。
(1)缺个角的条件:
1、公共角2、对顶角3、两全等三角形的对应角相等
4、等腰三角形5、同角或等角的补角(余角)6、等角加(减)等角
7、平行线8、等于同一角的两个角相等
(2)缺条边的条件:
1、公共边
2、中点
3、等量和
4、等量差
5、角平分线性质
6、等腰三角形
7、等面积法
8、线段垂直平分线上的点
到线段两端距离相等
9、两全等三角形的对应边相等
10、等于同一线段的两线段相等
基础测试:
1.如图
(1),△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,则__________≌__________.
2.斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是__________,底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是__________.
3.已知△ABC≌△DEF,△DEF的周长为32cm,DE=9cm,EF=12cm则AB=____________,BC=____________,AC=____________.
图
(1) 图
(2) 图(3)
如图
(2),AC=BD,要使△ABC≌△DCB还需知道的一个条件是__________
如图(3),若∠1=∠2,∠C=∠D,则△ADB≌__________,理由______________________.
不能确定两个三角形全等的条件是()
A.三边对应相等 B.两边及其夹角相等
C.两角和任一边对应相等 D.三个角对应相等
7·△ABC和△DEF中,AB=DE,∠A=∠D,若△ABC≌△DEF还需要()
A.∠B=∠E B.∠C=∠FC.AC=DF D.前三种情况都可以
8·在△ABC和△A′B′C′中①AB=A′B′ ②BC=B′C′ ③AC=A′C′ ④∠A=∠A′⑤∠B=∠B′ ⑥∠C=∠C′,则下列哪组条件不能保证△ABC≌△A′B′C′()
A.具备①②④ B.具备①②⑤ C.具备①⑤⑥ D.具备①②③
9、如图,点O是线段AB和线段CD的中点.
(1)求证:
△AOD≌△BOC;
(2)求证:
AD∥BC.
例题讲解:
例1、(2016•黔西南州)如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE B.AC=DF C.∠A=∠D D.BF=EC
例2、(2016•同安区一模)如图所示,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,求证:
△ABC≌△DEC.
变式训练:
1、已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.
(1)求证:
BD=CE;
(2)求证:
∠M=∠N.
例3、(2016•官渡区二模)如图,点E、F在AC上,AB∥CD,AB=CD,AE=CF,求证:
△ABF≌△CDE.
变式训练:
如图,四点共线,,,,。
求证:
。
例4、(2015秋•泉港区期中)已知:
Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连结CD、EB.
(1)请找出图中其他的全等三角形;
(2)求证:
CD=EB;
(3)求证:
CF=EF.
例5、如图1,已知矩形ABED,点C是边DE的中点,且AB=2AD.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)保持图1中△ABC固定不变,绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中(当垂线段AD、BE在直线MN的同侧),试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?
并给予证明;
(3)保持图2中△ABC固定不变,继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的异侧).试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?
并给予证明.
变式训练:
如图,△ABC中,D是BC的中点,AC∥BG,直线FG过点D交AC于F,交BG于G点,DE⊥GF,交AB于点E,连结GE、EF.
(1)求证:
BG=CF;
(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由.
例6、如图,AB∥CD,BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线,点E在AD上.
求证:
BC=AB+CD.
反馈检测:
1.能使两个直角三角形全等的条件是()
A.两直角边对应相等 B.一锐角对应相等
C.两锐角对应相等 D.斜边相等
2.根据下列条件,能画出唯一的是()
A.,, B.,,
C.,, D.,
3.如图,已知,,增加下列条件:
①;②;③;④。
其中能使的条件有()
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.如图,已知,,,则等于()
A. B. C. D.无法确定
5.如图,在中,,的平分线交于点,且,,则点到的距离等于__________;
6.将一张正方形纸片按如图的方式折叠,为折痕,则的大小为_________;
7.如图,为等边三角形,点分别在上,且,与交于点。
求的度数。
8.如图,,,为上一点,,,交延长线于点。
求证:
。
9.如图,已知AE⊥AD,AF⊥AB,AF=AB,AE=AD=BC,AD//BC.
求证:
(1)AC=EF,
(2)AC⊥EF
10.已知:
如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD的延长线于E.求证:
BD=2CE.
11、已知:
∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE,证明:
AD=DE+BE.
12、如图,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN,∠ABC+∠ADC=180°。
求证:
①DC=BC;②AD+AB=AC.
参考答案:
1.△ADB △ADC 2.ASA(或AAS) SSS 3.9cm 12cm 11cm 4.∠ACB=∠DBC或AB=CD
△ACB AAS6·D7·D8·A
参考答案
一、选择题:
1.A 2.C 3.B 4.C
二、填空题:
5.4 6.
三、解答题:
7.解:
为等边三角形
,
在与中
(SAS)
。
8.证明:
,
在与中
(AAS)
。
9.证明:
(1)∵AD//BC,∴∠B+∠DAB=180°
又∵∠DAB+∠4+∠EAF+∠3=360°,∠3=∠4=90°
∴∠DAB+∠EAF=180°
∴∠B=∠EAF
在△ABC和△FAE中
∴△ABC≌△FAE(SAS)∴AC=EF
(2)∵△ABC≌△FAE
∴∠1=∠F又∵∠1+∠3=∠2+∠F
∴∠2=∠3又∵∠3=90°∴∠2=90°∴AG⊥EF,即AC⊥EF
10.
证明:
延长BA、CE交于点F.
∵∠3=90°,∴∠5+∠F=90°
又∵BE⊥CE,∴∠4=90°,∠7=90°∴∠1+∠F=90°,∠6=180°-90°=90°
∴∠1=∠5
在△ABD和△ACF中 ∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=FC
在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC∴FC=2EC∴BD=2EC
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