八年级几何添加辅助线方法.doc
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八年级几何添加辅助线方法.doc
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中小学1对1课外辅导专家
精锐教育学科教师辅导讲义
年级:
初二辅导科目:
数学学科教师:
陈佳辉
课题
几何添加辅助线方法
教学目的
初步掌握演绎推理的规则和规范表达的格式;
知道基本的逻辑术语,理解命题、定理、证明的意义;
懂得推理过程中的因果关联,知道证明的步骤。
教学内容
1.定义:
能界定某个对象含义的句子。
例:
(1)能够被2整除的数叫做偶数。
(2)有一个角是直角的三角形,叫做直角三角形.
(3)有六条边的多边形,叫做六边形.
2.命题:
判断一件事情的句子。
(1)判断为正确的命题,叫做真命题;
判断为错误的命题,叫做假命题。
例:
判断下列命题为真命题还是假命题
(1)对顶角相等;
(2)三角形内角和180°;
(3)同位角相等,两直线平行;
(4)同角的余角相等;
(5)互为补角的两个角都是锐角;
(6)两直线相交,有且只有一个交点;
(7)两点之间线段最短。
(2)命题特征:
许多命题是由题设(或已知条件)、结论两部分组成的。
题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。
这样的命题常可以写成“如果……那么……”的形式。
用“如果”开始的部分就是题设,而用“那么”开始的部分就是结论。
例如,在“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”这个命题中,“两个角是对顶角”是题设,“这两个角相等”就是结论。
有的命题的题设与结论不十分明显,可以将它写成“如果……那么……”的形式。
就可以分清它的题设与结论。
例如,“直角都相等”可以写成“如果两个角是直角,那么这两个角相等”。
例:
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并指出这个命题的题设和结论.
(1)对顶角相等;
(2)同位角相等,两直线平行;
(3)同角的余角相等.
(4)两条高相等的三角形是等腰三角形
3.公理:
有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的命题叫做公理。
例:
我们已经知道下列命题是真命题:
(1)两点之间线段最短。
(2)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
(3)全等三角形的对应边、对应角分别相等。
在本书中我们将这些真命题均作为公理。
4.定理:
从公理或其他真命题出发,用推理方法证明为正确的,并能进一步作为判断其他命题真假的依据的真命题。
例:
(1)“两点之间线段最短”可以推导出“三角形的任何两边之和大于第三边”,而“三角形的任何两边之和大于第三边”是判断其他一些命题真假的常用依据,所以是定理。
(2)“三角形的内角和等于180°”可以推导出“直角三角形的两个锐角互余”。
此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据,因此我们把它也作为定理。
定理的作用不仅在于它提示了客观事物的本质属性,而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。
【课堂练习】
1.下列语句中,属于命题的是().
(A)直线AB和CD垂直吗(B)过线段AB的中点C画AB的垂线
(C)同旁内角不互补,两直线不平行(D)连结A,B两点
2.下列四个命题中,属于真命题的是().
(A)互补的两角必有一条公共边(B)同旁内角互补
(C)同位角不相等,两直线不平行(D)一个角的补角大于这个角
3.若三角形的三个外角的度数之比为2:
3:
4,则与之对应的三个内角的度数之比为().
(A)4:
3:
2(B)3:
2:
4(C)5:
3:
1(D)3:
1:
5
4.如图1,点D,E分别是AB,AC上的点,连结BE,CD.若∠B=∠C,则∠AEB与∠ADC的大小关系是().
(A)∠AEB>∠ADC(B)∠AEB=∠ADC;(C)∠AEB<∠ADC(D)不能确定
(1)
(2)(3)
5.如图2,在锐角△ABC中,CD和BE分别是AB和AC边上的高,且CD和BE交于点P,若∠A=50°,则∠BPC的度数是().
(A)150°(B)130°(C)120°(D)100°
6.如图3,如果AB∥CD,那么角α,β,γ之间的关系式为().
(A)α+β+γ=360°(B)α-β+γ=180°;
(C)α+β+γ=180°(D)α+β-γ=180°
7.命题“直角都相等”的题设是________,结论是____________.
8.如图4,AD,AE分别是△ABC的角平分线和高,∠B=50°,∠C=70°,则∠EAD=______.
(4)(5)(6)
9.如图5,已知∠BDC=142°,∠B=34°,∠C=28°,则∠A=________.
10.如图6,已知DB平分∠ADE,DE∥AB,∠CDE=82°,则∠EDB=_____,∠A=____
二.常见辅助线添置方法训练
【例1】如图1,已知AB∥CD,求证:
∠BED=∠B+∠D.
AB
E
C图1D
分析:
题中有平行条件,由此联想到平行线的性质,想到它所对应的图形.经对照发现,图中没有截AB、CD的线,所以我们要添置辅助线.
方法1:
延长BE交CD于F,如图2所示.
方法2:
延长DE交AB于F,如图3所示.
方法3:
连结BD,如图4所示.
方法4:
过E点任作一线交AB于M、交CD于N,如图5所示.
方法5:
以EB为一边在∠BED内部作∠BEF=∠B,或过E点作EF∥AB,如图6所示.
有些几何题目条件比较分散,条件与结论难于联系,这时往往需要巧妙地添置辅助线,将条件加以集中,便于利用.
倍长中线法:
【例2】已知:
在∆ABC中,AD是中线,BE交AD于点F,AE=EF.
求证:
AC=BF
“截长补短”法:
截长:
在线段上截取一段等于另两条线段中的一条,再证余下的部分等于另一条线段
补短:
延长两条线段中的一条,使其等于两条线段之和
【例3】已知:
∆ABC中,AD是∠BAC的角平分线,∠B=2∠C,
求证:
AB+BD=AC
方法1:
截长法:
在AC上截取AF=AB联结DF
方法2:
补短法:
延长AB至E,使AE=AC,联结DE
【课堂练习】己知:
△ABC中,AB=AC,CD⊥AB,垂足为D,P是BC上任一点,PE⊥AB,
PF⊥AC垂足分别为E、F,
求证:
①当点P在边BC上,PE+PF=CD;②当点P在边BC的延长线上,PE–PF=CD.
F
E
D
C
A
B
G
P
F
E
D
C
A
B
G
P
1如果一个三角形的两边长分别是7和9,问第三边中线的取值范围。
2如图所示,已知:
AD是△ABC的中线,且BA=BD,BE=ED。
求证:
AC=2AE
3证明直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
4如图,正方形ABCD的边长为1,G为CD边上一动点(点G与C、D不重合),以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于H。
F
E
D
C
A
B
G
H
求证:
①△BCG≌△DCE
②BH⊥DE
5已知D为EC的中点,EF∥AB,且EF=AC,求证:
AD平分∠BAC.
A
B
C
D
6已知:
如图在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,求证:
BC=AB+AD
7如图所示,已知中,,AD=DB,.求证:
.
A
D
B
C
1
2
8已知CE、AD是△ABC的角平分线,∠B=60°,求证:
AC=AE+CD
A
E
B
D
C
五回家作业:
A
1如图,AB∥CD,AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE,求证:
AD=AB+CD。
A
B
E
C
D
2如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE。
D
A
E
C
B
3已知∆ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD,联结CE,DE
求证:
CE=DE
4已知:
如图示,中,平分,,过作于点,交的延长线于点,联结;求证:
。
5已知中,AB=2AC,AD平分AD=BD,求证:
6已知:
如图,在△ABC中,CD是△ABC的角平分线,BC=AC+AD.,求证:
∠A=2∠B.
回家作业B
一.填空题
1.把命题“两个角对应相等的两个三角形相似”改写成“如果…那么…”的形式
.
2.把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式
___________________________________________________.
3.把命题:
“等腰三角形的两个底角相等”改写为“如果----那么-------”
.
4.判断命题的真假:
命题“同位角相等”是________命题.
5.判断下列命题的真假
(1)合数一定是偶数
(2)三个连续自然数的和是的倍数
(3)如果,那么
(4)如果,那么
(5)如果,那么
(6)如果,那么
(7)若a=b,则a2=b2;
(8)如果a2
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