八年级上册北师大版数学第二章-实数总结.doc
- 文档编号:1720209
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOC
- 页数:17
- 大小:532KB
八年级上册北师大版数学第二章-实数总结.doc
《八年级上册北师大版数学第二章-实数总结.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《八年级上册北师大版数学第二章-实数总结.doc(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第二章实数
一、实数的概念及分类
1.有理数,无理数概念:
有理数:
整数和分数的统称(任何有限小数和无限循环小数都是有理数)。
无理数:
无限不循环小数叫做无理数。
实数:
是有理数和无理数的统称;
2.分类:
a按定义分
b按正负分
正有理数
正实数
实数零正无理数
负有理数
负实数
负无理数
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等;
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
例1.
(1)下列各数:
①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有_______;是无理数的有______。
(填序号)
(2)有五个数:
0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有()个A2B3C4D5
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。
(|a|≥0)。
零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
5、估算
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地,0的算术平方根是0。
表示方法:
记作“”,读作根号a。
性质:
正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
2、平方根:
一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。
表示方法:
正数a的平方根记做“”,读作“正、负根号a”。
性质:
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
开平方:
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
注意的双重非负性:
0
3、算术平方根与平方根的关系:
算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。
因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:
;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:
。
例2.
(1)的平方是64,所以64的平方根是;
(2)的平方根是它本身。
(3)若的平方根是±2,则x= ;的平方根是
(4)当x时,有意义。
(5)一个正数的平方根分别是m和m-4,则m的值是多少?
这个正数是多少?
3、立方根
一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根(或三次方根)。
表示方法:
记作
性质:
一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
注意:
,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
例3.
(1)64的立方根是
(2)若,则b等于()
A.1000000 B.1000 C.10 D.10000
(3)下列说法中:
①都是27的立方根,②,③的立方根是2,④。
其中正确的有()
A、1个B、2个C、3个D、4个
例3.
(1)下列说法正确的是()A.1的立方根是B.;(C)、的平方根是;(D)、0没有平方根;
(2)下列各式正确的是()
A、B、C、D、
(3)的算术平方根是。
(4)若有意义,则___________。
(5)已知△ABC的三边分别是且满足,求c的取值范围。
(6)已知:
A=是的算术平方根,B=是的立方根。
求A-B的平方根。
(7)(提高题)如果x、y分别是4-的整数部分和小数部分。
求x-y的值.
四、实数大小的比较
1、实数比较大小:
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:
设a、b是实数,
(3)平方法:
设a、b是两负实数,则。
五、算术平方根有关计算(二次根式)
1、含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。
2、性质:
(1)
(2)
(3)()
(4)()
3、最简二次根式:
运算结果若含有“”形式,必须满足:
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
(1)六种运算:
加、减、乘、除、乘方、开方
(2)实数的运算顺序
先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
(3)运算律:
运算律在无理数范围内仍然适用
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
例5.
(1)下列说法正确的是();
A、任何有理数均可用分数形式表示;B、数轴上的点与有理数一一对应;
C、1和2之间的无理数只有;D、不带根号的数都是有理数。
(2)a,b在数轴上的位置如图所示,则下列各式有意义的是()
b
0
a
A、B、C、D、
(3)比较大小(填“>”或“<”).
3,,,,
(4)数的大小关系是()
A. B.
C. D.
(5)将下列各数:
,用“<”连接起来;______________________________________。
(6)若,且,则:
=。
(7)计算:
(8)已知:
,
求代数式的值。
6.(提高题)观察下列等式:
回答问题:
①②
③,……
(1)根据上面三个等式的信息,请猜想的结果;
(2)请按照上式反应的规律,试写出用n表示的等式,并加以验证。
课后练习
一、考查题型:
1.-1的相反数的倒数是
2.已知|a+3|+=0,则实数(a+b)的相反数
3.数-3.14与-Л的大小关系是
4.和数轴上的点成一一对应关系的是
5.和数轴上表示数-3的点A距离等于2.5的B所表示的数是
6.在实数中Л,-,0,,-3.14,无理数有( )
(A)1 个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
7.一个数的绝对值等于这个数的相反数,这样的数是( )
(A)非负数 (B)非正数 (C)负数 (D)正数
8.若x<-3,则|x+3|等于( )
(A)x+3 (B)-x-3 (C)-x+3 (D)x-3
9.下列说法正确是( )
(A)有理数都是实数(B)实数都是有理数
(B)带根号的数都是无理数(D)无理数都是开方开不尽的数
10.实数在数轴上的对应点的位置如图,比较下列每组数的大小:
(1)c-b和d-a
(2)bc和ad
二、考点训练:
*1.判断题:
(1)如果a为实数,那么-a一定是负数;( )
(2)对于任何实数a与b,|a-b|=|b-a|恒成立;( )
(3)两个无理数之和一定是无理数;( )
(4)两个无理数之积不一定是无理数;( )
(5)任何有理数都有倒数;( ) (6)最小的负数是-1;( )
(7)a的相反数的绝对值是它本身;( )
(8)若|a|=2,|b|=3且ab>0,则a-b=-1;( )
2.把下列各数分别填入相应的集合里
-|-3|,21.3,-1.234,-,0,-,-,-,,(-)0,3-2,ctg45°,1.2121121112......中
无理数集合{ }
负分数集合{ }
整数集合{ }
非负数集合{ }
*3.已知1 (A)-2x (B)2 (C)2x (D)-2 4.下列各数中,哪些互为相反数? 哪些互为倒数? 哪些互为负倒数? -3,-1,3,-0.3,3-1,1+,3 互为相反数: 互为倒数: 互为负倒数: *5.已知x、y是实数,且(X-)2和|y+2|互为相反数,求x,y的值 6.a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值是2, 求+4m-3cd=。 *7.已知=0,求a+b=。 三、解题指导: 1.下列语句正确的是( ) (A)无尽小数都是无理数 (B)无理数都是无尽小数 (C)带拫号的数都是无理数 (D)不带拫号的数一定不是无理数。 2.和数轴上的点一一对应的数是( ) (A)整数 (B)有理数 (C)无理数 (D)实数 3.零是( ) (A)最小的有理数(B)绝对值最小的实数 (C)最小的自然数 (D)最小的整数 4.如果a是实数,下列四种说法: (1)a2和|a|都是正数, (2)|a|=-a,那么a一定是负数, (3)a的倒数是,(4)a和-a的两个分别在原点的两侧,几个是正确的( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 *5.比较下列各组数的大小: (1) (2) (3)a 6.若a,b满足=0,则的值是 *7.实数a,b,c在数轴上的对应点如图,其中O是原点,且|a|=|c| (1)判定a+b,a+c,c-b的符号 (2)化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b| *8.数轴上点A表示数-1,若AB=3,则点B所表示的数为 9.已知x<0,y>0,且y<|x|,用"<"连结x
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 年级 上册 北师大 数学 第二 实数 总结