全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法.docx
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全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法
△ABC中,AD是BC边中线
方式1:
直接倍长,(图1):
延长AD到E,使DE=AD,连接BE
方式2:
间接倍长
1)(图2)作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延长线于E,连接BE
2)(图3)延长MD到N,使DN=MD,连接CD
【经典例题】
例1已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,
则中线AD的取值范围是_________.
(提示:
画出图形,倍长中线AD,利用三角形两边之和大于第三边)
例2:
已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF.
求证:
BD=CE.(提示:
方法1:
过D作DG∥AE交BC于G,证明ΔDGF≌ΔCEF
方法2:
过E作EG∥AB交BC的延长线于G,证明ΔEFG≌ΔDFB
方法3:
过D作DG⊥BC于G,过E作EH⊥BC的延长线于H,证明ΔBDG≌ΔECH)
例3、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
变式:
如图,AD为的中线,DE平分交AB于E,DF平分交AC于F.求证:
(提示:
方法1:
在DA上截取DG=BD,连结EG、FG,证明ΔBDE≌ΔGDEΔDCF≌ΔDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边
_
D
_
F
_
C
_
B
_
E
_
A
方法2:
倍长ED至H,连结CH、FH,证明FH=EF、CH=BE,利用三角形两边之和大于第三边)
_
D
_
F
_
C
_
B
_
E
_
A
例4:
已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF
(提示:
方法1:
倍长AD至G,连接BG,证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形。
方法2:
倍长ED.试一试,怎么证明?
)
例5、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,
求证:
AD平分∠BAE.(提示:
倍长AE至M,连接DM)
变式一:
已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,
求证:
∠C=∠BAE
提示:
倍长AE至F,连结DF,证明ΔABE≌ΔFDE(SAS),进而证明ΔADF≌ΔADC(SAS)
变式二:
已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,
求证:
2AE=AC。
(提示:
借鉴变式一的方法)
_
A
_
B
_
D
_
E
_
C
_
F
例6:
已知:
如图,在中,,D、E在BC上,且DE=EC,过D作交AE于点F,DF=AC.
求证:
AE平分
提示:
方法1:
倍长AE至G,连结DG
方法2:
倍长FE至H,连结CH
_
A
_
B
_
D
_
E
_
C
_
F
【练习】
1、在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论
提示:
延长AE、DF交于G,证明AB=GC、AF=GF,所以AB=AF+FC
2、已知:
如图,DABC中,ÐC=90°,CM^AB于M,AT平分ÐBAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E,求证:
CT=BE.
提示:
过T作TN⊥AB于N,证明ΔBTN≌ΔECD
3、在△ABC中,AD平分∠BAC,CM⊥AD于M,若AB=AD,求证:
2AM=AC+AB。
4、△ABC中,AD是边BC上的中线,DA⊥AC于点A,∠BAC=120°,
求证:
AB=2BC.
5、如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点,求证:
DE=2AM
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