全等三角形证明题(含答案版).doc
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1、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连结AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)证明:
△ABE≌△DAF;
(2)若∠AGB=30°,求EF的长.
【解析】
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,
在△ABE和△DAF中,,
∴△ABE≌△DAF.
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠1+∠4=90o
∵∠3=∠4,
∴∠1+∠3=90o
∴∠AFD=90o
在正方形ABCD中,AD∥BC,
∴∠1=∠AGB=30o
在Rt△ADF中,∠AFD=90oAD=2,
∴AF=,DF=1,
由
(1)得△ABE≌△ADF,
∴AE=DF=1,
∴EF=AF-AE=.
2、如图,,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.
【解析】
(1)、、、、
(写出其中的三对即可).
(2)以为例证明.
证明:
在Rt和Rt中,
Rt≌Rt.
3、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:
Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.
A
B
C
E
F
第22题图
【解析】
(1)∵∠ABC=90°∴∠CBF=∠ABE=90°
在Rt△ABE和Rt△CBF中
∵AE=CF,AB=BC∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)
(2)∵AB=BC,∠ABC=90°∴∠CAB=∠ACB=45°
∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
由
(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠BCF=∠BAE=15°
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°
4、已知:
如图,点C是线段AB的中点,CE=CD,∠ACD=∠BCE,
求证:
AE=BD.
题20图
【解析】
∵点C是线段AB的中点,
∴AC=BC,
∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD.
5、如图10,已知,,
与相交于点,连接.
(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;
(2)求证:
.
【解析】
(1),
(2)证法一:
连接
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
即
∴
证法二:
∵
∴,
∴
即
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
6、如图,点F是CD的中点,且AF⊥CD,BC=ED,∠BCD=∠EDC.
A
B
C
D
E
F
(1)求证:
AB=AE;
(2)连接BE,请指出BE与AF、BE与CD分别有怎样的关系?
(只需写出结论,不必证明).
【解析】
(1)证明:
联结AC、AD
∵点F是CD的中点,且AF⊥CD,∴AC=AD
∴∠ACD=∠ADC
∵∠BCD=∠EDC
∴∠ACB=∠ADE
∵BC=DE,AC=AD
∴△ABC≌△AED
∴AB=AE
(2)BE⊥AF,BE//CD,AF平分BE
7、如图l,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AMBE,垂足为M,AM交BD于点F.
(1)求证:
OE=OF;
(2)如图2,若点E在AC的延长线上,AMBE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?
如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形.
∴BOE=AOF=90.OB=OA
又∵AMBE,∴MEA+MAE=90=AFO+MAE
∴MEA=AFO
∴Rt△BOE≌Rt△AOF
∴OE=OF
(2)OE=OF成立
证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴BOE=AOF=90.OB=OA
又∵AMBE,∴F+MBF=90=B+OBE
又∵MBF=OBE
∴F=E
∴Rt△BOE≌Rt△AOF
∴OE=OF
8、如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,
(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,∠CMQ变化吗?
若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
(2)何时∆PBQ是直角三角形?
(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ变化吗?
若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
A
P
B
Q
C
M
图2
A
P
B
Q
C
M
图1
【解析】
(1)不变。
又由条件得AP=BQ,∴≌(SAS)
∴
∴
(2)设时间为t,则AB=BQ=t,PB=4-t
当
当
∴当第秒或第2秒时,∆PBQ为直角三角形
(3)不变。
∴
又由条件得BP=CQ,∴≌(SAS)
∴又
∴
9、如图:
ACB与DCE是全等的两个直角三角形,其中ACB=DCE=900,AC=4,BC=2,点D、C、B在同一条直线上,点E在边AC上.
(1)直线DE与AB有怎样的位置关系?
请证明你的结论;
(2)如图
(1)若DCE沿着直线DB向右平移多少距离时,点E恰好落在边AB上,求平移距离DD,;
(3)在DCE沿着直线DB向右平移的过程中,使DCE与ACB的公共部分是四边形,设平移过程中的平移距离为,这个四边形的面积为,求与的函数关系式,并写出它的定义域.
D
E
A
B
C
(1)
D,
D
E
A
B
C
备用图
D
E
A
B
C
【解析】
解:
(1)点M
(2)经过t秒时,,则,
∵==
∴
∴∴
∴
∵∴当时,S的值最大.
(3)存在.
设经过t秒时,NB=t,OM=2t则,
∴==
①若,则是等腰Rt△底边上的高
∴是底边的中线∴
∴∴
∴点的坐标为(1,0)
②若,此时与重合
∴
∴
∴
∴点的坐标为(2,0)
10、如图,四点共线,,,,。
求证:
。
【解析】
,
在与中
∴(HL)
,即
在与中
(SAS)
11、如图,是的边上的点,且,,是的中线。
求证:
。
【解析】
延长至点,使,连接
在与中
(SAS)
,
又
,
在与中
(SAS)
又
。
12、已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
【解析】
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
∴△CEB≌△CEF
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
7
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