全等三角形的判定复习与总结(教案).doc
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全等三角形的判定
全等三角形复习
[知识要点]
一、全等三角形
1.判定和性质
一般三角形
直角三角形
判定
边角边(SAS)、角边角(ASA)
角角边(AAS)、边边边(SSS)
具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等(HL)
性质
对应边相等,对应角相等
对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等
注:
①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等;
②全等三角形面积相等.
2.证题的思路:
二、例题讲解
例1.(SSS)如图,已知AB=AD,CB=CD,那么∠B=∠D吗?
为什么?
D
C
B
分析:
要证明∠B=∠D,可设法使它们分别在两个三角形中,再证它们所
在的两个三角形全等,本题中已有两组边分别对应相等,因此只要连接
AC边即可构造全等三角形。
解:
相等。
理由:
连接AC,在△ABC和△ADC中,
△ABC≌△ADC(SSS),∠B=∠D(全等三角形的对应角相等)
点评:
证明两个角相等或两条线段相等,往往利用全等三角形的性质求解。
有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。
A
例2.(SSS)如图,△ABC是一个风筝架,AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架,证明:
AD⊥BC.分析:
要证AD⊥BC,根据垂直定义,需证∠ADB=∠ADC,而∠ADB=∠ADC可由△ABD≌△ACD求得。
证明:
D是BC的中点,BD=CD
BDC
在△ABD与△ACD中,
△ABD≌△ACD(SSS),∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应角相等)
A
∠ADB+∠ADC=(平角的定义)
E
D
∠ADB=∠ADC=,AD⊥BC(垂直的定义)
例3.(SAS)如图,AB=AC,AD=AE,求证:
∠B=∠C.
C
B
分析:
利用SAS证明两个三角形全等,∠A是公共角。
证明:
在△ABE与△ACD中,
△ABE≌△ACD(SAS),∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)
例4.(SAS)如图,已知E,F是线段AB上的两点,且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证:
DF=CE.
DC
分析:
先证明AF=BE,再用SAS证明两个三角形全等。
AEFB
证明:
AE=BF(已知)
AE+EF=BF+FE,即AF=BE
在△DAF与△CBE中,
△DAF≌△CBE(SAS),DF=CE(全等三角形的对应角相等)
点评:
本题直接给出了一边一角对应相等,因此根据SAS再证出另一边(即AF=BE)相等即可,进而推出对应边相等。
例5.( ASA)如图,已知点E,C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F,求证:
AB=DE.
AD
BECF
分析:
要证AB=DE,结合BE=CF,即BC=EF,∠ACB=∠F逆推,即要找到证△ABC≌△DEF的条件。
证明:
AB∥DE,∠B=∠DEF.
又BE=CF,BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC与△DEF中,
△ABC≌△DEF(ASA),AB=DE.
D
A
例6.(AAS)如图,已知B,C,E三点在同一条直线上,AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B,求证:
△ABC≌△CDE.
分析:
在△ABC与△CDE中,条件只有AC=CE,还需要再找另外两个条件,
BCE
由AC∥DE,可知∠B=∠D,于是△ABC≌△CDE的条件就有了。
证明:
AC∥DE,∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D.
又∠ACD=∠B,∠B=∠D.
在△ABC与△CDE中,,
△ABC≌△CDE(AAS).
解题规律:
通过两直线平行,得角相等时一种常见的证角相等的方法,也是本题的解题关键。
例7.(HL)如图,在Rt△ABC中,∠A=,点D为斜边BC上一点,且BD=BA,过点D作BC得垂线,交AC于点E,求证:
AE=ED.
A
分析:
要证AE=ED,可考虑通过证相应的三角形全等来解决,但图中没有现成的三角形,因此要考虑添加辅助线构造出两线段所在的三角形,结合已知条件,运用“三点定形法”知,连接BE即可。
E
BDC
证明:
连接BE.
ED⊥BC于D,∠EDB=.
在Rt△ABE与Rt△DBE中,
Rt△ABE≌Rt△DBE(HL),AE=ED.
解题规律:
连接BE构造两个直角三角形是本题的解题关键。
特别提醒:
连公共边是常作得辅助线之一。
1.如图,已知AC=DB,要使△ABC≌△DCB,利用SSS只需增加的一个条件是____。
2.如图,已知△ABC和△DBE,B为AD的中点,BE=BC,请增加的一个条件____________使△ABC≌△DCB。
3.如图,点F、C在线段BE上,且AB=DF,AC=DE,若要使△ABC≌△DEF,则还需补充一个条件___________。
4.如图:
将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点F处,已知∠1+∠2=100°,则∠A=度;
A
三、课堂同步练习
1.如图,AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC全等吗?
为什么?
C
BD
如图,已知AB=CD,AC=BD,求证:
∠A=∠D.
A
2.如图,C是AB的中点,AD=CE,CD=BE,求证△ACD≌△CBE.
CD
BE
4.如图,AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC,求证∠ABD=∠ACD.
AD
CB
DC
6.如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.求证DC∥AB.
O
AB
A
7.如图,点B,E,C,F在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.求证AB=DE,AC=DF.
BFCE
D
8.如图,∠1=∠2,∠ABC=∠DCB。
求证:
AB=DC。
9.已知,求证:
6.已知AC=BD,AE=CF,BE=DF,问AE∥CF吗?
A
C
B
D
E
F
8、910、已知CD∥AB,DF∥EB,DF=EB,问AF=CE吗?
说明理由。
A
D
C
E
F
B
11、已知ED⊥AB,EF⊥BC,BD=EF,问BM=ME吗?
说明理由。
A
C
M
E
F
B
D
已知AD=AE,∠B=∠C,问AC=AB吗?
说明理由。
A
D
E
B
C
15、点C是AB的中点,CD∥BE,且CD=BE,问∠D=∠E吗?
说明理由。
D
A
E
C
B
1
2
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