全等三角形经典题型50题(含答案).doc
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全等三角形证明经典50题(含答案)
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
A
D
B
C
延长AD到E,使DE=AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE 即: 10-2<2AD<10+24 又AD是整数,则AD=5 2.已知: D是AB中点,∠ACB=90°,求证: D A B C 3.已知: BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证: ∠1=∠2 A B C D E F 2 1 证明: 连接BF和EF。 因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。 所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。 连接BE。 在三角形BEF中,BF=EF。 所以∠EBF=∠BEF。 又因为∠ABC=∠AED。 所以∠ABE=∠AEB。 所以AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中, AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。 所以三角形ABF和三角形AEF全等。 所以∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。 B A C D F 2 1 E 4.已知: ∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证: EF=AC 证明: 过E点,作EG//AC,交AD延长线于G 则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2 又∵CD=DE ∴⊿ADC≌⊿GDE(AAS) ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5.已知: AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证: ∠B=2∠C A C D B 证明: 在AC上截取AE=AB,连接ED ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB,AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD(SAS) ∴∠AED=∠B,DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6.已知: AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证: AE=AD+BE 证明: 在AE上取F,使EF=EB,连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB=∠CEF=90° 因为EB=EF,CE=CE, 所以△CEB≌△CEF 所以∠B=∠CFE 因为∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180° 所以∠D=∠CFA 因为AC平分∠BAD 所以∠DAC=∠FAC 又因为AC=AC 所以△ADC≌△AFC(SAS) 所以AD=AF 所以AE=AF+FE=AD+BE 12.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。 求证: BC=AB+DC。 证明: 在BC上截取BF=BA,连接EF. ∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A; AB平行于CD,则: ∠A+∠D=180°; 又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D; 又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD. D C B A F E 13.已知: AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证: ∠F=∠C AB//ED,AE//BD推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF全等于三角形DCB, 所以: ∠C=∠F 14.已知: AB=CD,∠A=∠D,求证: ∠B=∠C A B C D 证明: 设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD 则: △AED是等腰三角形。 所以: AE=DE 而AB=CD 所以: BE=CE(等量加等量,或等量减等量) 所以: △BEC是等腰三角形 所以: 角B=角C. 15.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证: PC-PB 作B关于AD的对称点B‘,因为AD是角BAC的平分线,B'在线段AC上(在AC中间,因为AB较短) 因为PC D A C B 16.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证: AC-AB=2BE ∠BAC=180-(∠ABC+∠C=180-4∠C ∠1=∠BAC/2=90-2∠C ∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE交AC于F 因为,∠1=∠2,BE⊥AE 所以,△ABF是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C BF=CF AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE 17.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求F A E D C B DC 作AG∥BD交DE延长线于G AGE全等BDE AG=BD=5 AGF∽CDF AF=AG=5 所以DC=CF=2 18.(5分)如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证: AD⊥BC. 延长AD至H交BC于H; BD=DC; 所以: ∠DBC=∠角DCB; ∠1=∠2; ∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2; ∠ABC=∠ACB; 所以: AB=AC; 三角形ABD全等于三角形ACD; ∠BAD=∠CAD; AD是等腰三角形的顶角平分线 所以: AD垂直BC 19.(5分)如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N. 求证: ∠OAB=∠OBA 因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM,且∠MOA=∠MOB 所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA 因为∠OAM=∠OBM=90度 所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA 20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证: AD+BC=AB. 证明: 做BE的延长线,与AP相交于F点, ∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°, 又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形 在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线 ∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中, ∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB, ∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21.(6分)如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证: ∠C=2∠B 证明: 在AB上找点E,使AE=AC ∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD ∴△ADE≌△ADC。 DE=CD,∠AED=∠C ∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB ∠C=∠B+∠EDB=2∠B 22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M. (1)求证: MB=MD,ME=MF (2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立? 若成立请给予证明;若不成立请说明理由. 分析: 通过证明两个直角三角形全等,即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论. 解答: 解: (1)连接BE,DF. ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴DE=BF. ∴四边形BEDF是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF; (2)连接BE,DF. ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴DE=BF. ∴四边形BEDF是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF. 23.(7分)已知: 如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点, (1)求证: △AED≌△EBC. (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明): (1)DC∥AE,且DC=AE,所以四边形AECD是平行四边形。 于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC。 由AE=BE,所以△AED≌△EBC。 (2)△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。 24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F. 求证: BD=2CE. 证明: 延长BA、CE,两线相交于点F ∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF和△BEC中 ∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC ∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE ∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF 在△ABD和△ACF中 ∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE 25、(10分)如图: DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。 求证: △AED≌△BFC。 26、(10分)如图: AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。 求证: AM是△ABC的中线。 证明: ∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM ∴AM是△ABC的中线. 27、(10分)如图: 在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。 求证: BD⊥AC。 三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等,它们全等,所以角ADB和角CDB相等,它们的和是180度,所以都是90度,BD垂直AC 28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。 求证: BF=CF 证明: 在△ABD与△ACD中AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC 29、(12分)如图: AB=CD,AE=DF,CE=FB。 求证: AF=DE。 因为AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF 因为角DCB=角ABF AB=DCBF=CE 三角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE 30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上. 证: ∵AB平行CD(已知) ∴∠B=
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