全等三角形经典题型50题(含答案).doc

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全等三角形证明经典50题（含答案）

1.已知：

AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

A

D

B

C

延长AD到E,使DE=AD,

则三角形ADC全等于三角形EBD

即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE

即:

10-2<2AD<10+24

又AD是整数,则AD=5

2.已知：

D是AB中点，∠ACB=90°，求证：

D

A

B

C

3.已知：

BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：

∠1=∠2

A

B

C

D

E

F

2

1

证明：

连接BF和EF。

因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

所以三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。

所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE。

在三角形BEF中,BF=EF。

所以∠EBF=∠BEF。

又因为∠ABC=∠AED。

所以∠ABE=∠AEB。

所以AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中，

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

所以三角形ABF和三角形AEF全等。

所以∠BAF=∠EAF（∠1=∠2）。

B

A

C

D

F

2

1

E

4.已知：

∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：

EF=AC

证明：

过E点，作EG//AC，交AD延长线于G

则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2

又∵CD=DE

∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）

∴EG=AC

∵EF//AB

∴∠DFE=∠1

∵∠1=∠2

∴∠DFE=∠DGE

∴EF=EG

∴EF=AC

5.已知：

AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：

∠B=2∠C

A

C

D

B

证明：

在AC上截取AE=AB，连接ED

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠BAD

又∵AE=AB，AD=AD

∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）

∴∠AED=∠B，DE=DB

∵AC=AB+BD

AC=AE+CE

∴CE=DE

∴∠C=∠EDC

∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C

∴∠B=2∠C

6.已知：

AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

因为CE⊥AB

所以∠CEB＝∠CEF＝90°

因为EB＝EF，CE＝CE，

所以△CEB≌△CEF

所以∠B＝∠CFE

因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

所以∠D＝∠CFA

因为AC平分∠BAD

所以∠DAC＝∠FAC

又因为AC＝AC

所以△ADC≌△AFC（SAS）

所以AD＝AF

所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE

12.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：

BC=AB+DC。

证明:

在BC上截取BF=BA,连接EF.

∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE（SAS）,∠EFB=∠A;

AB平行于CD,则:

∠A+∠D=180°;

又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;

又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE（AAS）,FC=CD.

所以,BC=BF+FC=AB+CD.

D

C

B

A

F

E

13.已知：

AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：

∠F=∠C

AB//ED,AE//BD推出AE=BD,

又有AF=CD,EF=BC

所以三角形AEF全等于三角形DCB，

所以:

∠C=∠F

14.已知：

AB=CD，∠A=∠D，求证：

∠B=∠C

A

B

C

D

证明：

设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。

则：

△AED是等腰三角形。

所以：

AE=DE

而AB=CD

所以：

BE=CE（等量加等量，或等量减等量）

所以：

△BEC是等腰三角形

所以：

角B=角C.

15.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：

PC-PB

作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）

因为PC

D

A

C

B

16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：

AC-AB=2BE

∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C

∠1=∠BAC/2=90-2∠C

∠ABE=90-∠1=2∠C

延长BE交AC于F

因为，∠1=∠2，BE⊥AE

所以，△ABF是等腰三角形

AB=AF,BF=2BE

∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C

BF=CF

AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE

17.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求F

A

E

D

C

B

DC

作AG∥BD交DE延长线于G

AGE全等BDE

AG=BD=5

AGF∽CDF

AF=AG=5

所以DC=CF=2

18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：

AD⊥BC．

延长AD至H交BC于H;

BD=DC;

所以:

∠DBC=∠角DCB;

∠1=∠2;

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;

∠ABC=∠ACB;

所以:

AB=AC;

三角形ABD全等于三角形ACD;

∠BAD=∠CAD;

AD是等腰三角形的顶角平分线

所以:

AD垂直BC

19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：

∠OAB=∠OBA

因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB

所以MA=MB

所以∠MAB=∠MBA

因为∠OAM=∠OBM=90度

所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA

所以∠OAB=∠OBA

20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：

AD+BC=AB．

证明：

做BE的延长线，与AP相交于F点，

∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°，

又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF

在三角形DEF与三角形BEC中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

21．（6分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：

∠C=2∠B

证明：

在AB上找点E，使AE=AC

∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD

∴△ADE≌△ADC。

DE=CD，∠AED=∠C

∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE

∠B=∠EDB

∠C=∠B+∠EDB=2∠B

22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：

MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

分析：

通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．

解答：

解：

（1）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA，

∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB=MD，ME=MF；

（2）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA，

∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB=MD，ME=MF．

23．（7分）已知：

如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

（1）求证：

△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

（1）DC∥AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。

于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。

由AE=BE，所以△AED≌△EBC。

（2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。

24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

求证：

BD=2CE．

证明：

延长BA、CE，两线相交于点F

∵BE⊥CE

∴∠BEF=∠BEC=90°

在△BEF和△BEC中

∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC

∴△BEF≌△BEC（ASA）

∴EF=EC

∴CF=2CE

∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°

又∵∠ADB=∠CDE

∴∠ABD=∠ACF

在△ABD和△ACF中

∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°

∴△ABD≌△ACF（ASA）

∴BD=CF

∴BD=2CE

25、（10分）如图：

DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。

求证：

△AED≌△BFC。

26、（10分）如图：

AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

求证：

AM是△ABC的中线。

证明：

∵BE‖CF

∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM

∵BE=CF

∴△BEM≌△CFM

∴BM=CM

∴AM是△ABC的中线.

27、（10分）如图：

在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。

求证：

BD⊥AC。

三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC

28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。

求证：

BF=CF

证明：

在△ABD与△ACD中AB=AC

BD=DC

AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴∠ADB=∠ADC

∴∠BDF=∠FDC

在△BDF与△FDC中

BD=DC

∠BDF=∠FDC

DF=DF

∴△FBD≌△FCD

∴BF=FC

29、（12分）如图：

AB=CD，AE=DF，CE=FB。

求证：

AF=DE。

因为AB=DC

AE=DF,

CE=FB

CE+EF=EF+FB

所以三角形ABE=三角形CDF

因为角DCB=角ABF

AB=DCBF=CE

三角形ABF=三角形CDE

所以AF=DE

30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.

证：

∵AB平行CD（已知）

∴∠B=