全等三角形培优讲义.doc

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全等三角形常见辅助线作法

精准诊查

【知识导图】

【导学】全等三角形

第一部分：

知识点回顾

常见辅助线的作法有以下几种：

1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：

在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

第二部分：

例题剖析

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE.

二、截长补短

1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：

CD⊥AC

2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。

求证：

BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，

求证：

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

应用：

三、平移变换

例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.

例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：

AB+AC>AD+AE.

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：

OE=OD

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.

五、旋转

例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

例2如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为；

例3设点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上滑动且保持∠EAF=450，

AP⊥EF于点P，

（1）求证：

AP=AB。

（2）若AB=5，求ΔECF的周长。

变式练习1、如图所示，正方形ABCD的BC边上有一点E，∠DAE的平分线交CD于F，试用旋转的

思想方法说明AE=DF+BE．　　　　　　　　　　　

3.

（1）如图11－1，△ADE中，AE=AD且∠AED=∠ADE，∠EAD=90°，EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．请你判断AB、AC是否相等，并说明理由；

图11－1

图11－2

O

（2）△ADE的位置保持不变，将△ABC绕点A逆时针旋转至图11－2的位置，AD、BE相交于O，请你判断线段BE与CD的关系，并说明理由．

【课后作业】

1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．

（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：

EF＝AE＋BF．

（2）如图，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．

①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．

2.如图3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CD，BF⊥CD，AB交CD于E.

求证：

DF=CD-AD.

3.如图，已知AC=BC，∠ACB=90°，D为AB上任意一点，AE⊥CD延长线于E，BF⊥CD于F.求证：

EF=BF-AE.

4．如图，在△ABC中，AC⊥BC,AC=BC,D为AB上一点，AF⊥CD交CDA

C

F

D

E

BB

的延长线于F，BE⊥CD

于E.求证：

EF=BE—AF

5.如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．

求证：

BE+CF＞EF．

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