全等三角形压轴题及分类解析.doc

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8年级三角形综合题归类

一、双等边三角形模型

1.

（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；

（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.

C

B

O

D

图7

A

E

B

A

O

D

C

E

图8

2.已知:

点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O.

①求证：

AN=BM

②求∠AOB的度数。

③若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，求证：

PQ∥AB。

（湘潭·中考题）A

B

C

M

N

O

P

Q

同类变式：

如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.

（1）线段AF和BE有怎样的大小关系?

请证明你的结论；

（2）将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，

（1）中的结论还成立吗?

作出判断并说明理由；

　　（3）若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c（草图即可），

（1）中的结论还成立吗?

作出判断不必说明理由.

图c

3.如图9，若△和△为等边三角形，分别为的中点，易证：

，△是等边三角形．

（1）当把△绕点旋转到图10的位置时，是否仍然成立？

若成立,请证明；若不成立，请说明理由；

（2）当△绕点旋转到图11的位置时，△是否还是等边三角形？

若是，请给出证明，若不是，请说明理由．

图9 图10图11

图8

同类变式：

已知，如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．

（1）求证：

①；②；

C

E

N

D

A

B

M

图①

C

A

E

M

B

D

N

图②

（2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出

（1）中的两个结论是否仍然成立.

4.如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．

（1）证明：

△ABG△ADE；

（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；

（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜BAE＜180°），设△ABE的面积

C

F

G

E

D

B

A

H

为，△ADG的面积为，判断与的大小关系，并给予证明．

5.已知：

如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接．

（1）求证：

；

（2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论．

二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）

考点1：

利用垂直证明角相等

1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

求证：

（1）AE＝CD；　

（2）若AC＝12cm，求BD的长．

2.（西安中考）如图

（1）,已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E。

图

（1）图

（2）图（3）

（1）试说明:

BD=DE+CE.

（2）若直线AE绕A点旋转到图

（2）位置时（BD

写结论,并说明理由。

（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE）,其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?

写出结论,可不说明理由。

3.直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且．

（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若，则（填“”，“”或“”号）；

②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是；

（2）如图3，若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

A

B

C

E

F

D

D

A

B

C

E

F

A

D

F

C

E

B

图1

图2

图3

考点2：

利用角相等证明垂直

1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系

2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：

CD=BF；

（2）求证：

AD⊥CF；

（3）连接AF，试判断△ACF的形状.

拓展巩固：

如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：

∠ADC＝∠BDE．

A

B

C

D

E

F

图9

（提示：

对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？

）

3.如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接，.

（1）试猜想与有怎样的位置关系，并证明你的结论；

（2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和.你认为

（1）中的结论是否还成立？

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

4.如图1，的边BC在直线上，且的边也

在直线上，边与边重合，且

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的

数量关系和位置关系；

（2）将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点,连接

.猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长

线于点Q,连结,你认为

（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

l

（1）

A

B

（F）

（E）

C

P

A

B

E

C

F

P

Q

（2）

l

A

B

E

C

F

P

l

（3）

Q

三、等腰三角形（中考重难点之一）

考点1：

等腰三角形性质的应用

1.如图，中，，，是中点，，与交于，与交于．求证：

，．

2.两个全等的含，角的三角板和三角板，如图所示放置，三点在一条直线上，连结，取的中点，连结．试判断的形状，并说明理由．

压轴题拓展：

（三线合一性质的应用）已知中，，，为边的中点，，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、．

当绕点旋转到于时（如图1），易证．当绕点旋转到和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?

若成立，请给予证明；若不成立，，，又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

提示：

此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。

3.已知：

如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。

（1）BF=AC

（2）CE=BF（3）CE与BC的大小关系如何。

考点2：

等腰直角三角形（45度的联想）

1.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边

经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM

的平分线BF相交于点F.

⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；

③请证明你的上述两猜想.

⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,

使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明

2.在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．

①求证：

DG=DC

②判断FH与FC的数量关系并加以证明．

图1

图2

（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，

（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形。

在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在

（1）中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）

同类变式：

（期末考试原题哦）已知：

△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60º角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边与∠ACM的平分线CF交于点F

（1）如图

（1）当点E在BC边得中点位置时

猜想AE与EF满足的数量关系是.

连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是　　　　　.

请证明你的上述猜想；

（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？

E

四、角平分线问题

1.如图：

E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,∠AEB=90°,设AD＝,

BC＝，且满足

（1）求AD和BC的长；

（2）你认为AD和BC还有什么关系？

并验证你的结论；

A

C

B

D

E

（3）你能求出AB的长度吗？

若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.

2.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（第23题图）

O

P

A

M

N

E

B

C

D

F

A

C

E

F

B

D

图①

图②

图③

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其它条件不变，请问，你在

（1）中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

3.（北京市中考模拟题）如图，在四边形中，平分，过作，并且，则等于多少？

4.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如