全国初中数学联赛试题附答案.doc
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1991-2014年全国初中数学联赛试题总汇
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一、选择题
本题共有8个小题,每小题都给出了(A)、(B)(C)、(D)四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.设等式在实数范围内成立,其中a,x,y是两两不同的实数,则的值是
(A)3;(B);(C)2;(D).
答()
2.如图,AB‖EF‖CD,已知AB=20,CD=80,BC=100,那么EF的值是
(A)10;(B)12;
(C)16;(D)18.
答()
3.方程的解是
(A);(B);
(C)或;(D).
答()
4.已知:
(n是自然数).那么,的值是
(A); (B);
(C); (D).
答( )
5.若,其中M为自然数,n为使得等式成立的最大的自然数,则M
(A)能被2整除,但不能被3整除;
(B)能被3整除,但不能被2整除;
(C)能被4整除,但不能被3整除;
(D)不能被3整除,也不能被2整除.
答( )
6.若a,c,d是整数,b是正整数,且满足,,,那么
的最大值是
(A);(B);(C);(D)1.
答( )
=1
7.如图,正方形OPQR内接于ΔABC.已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是,和,那么,正方形OPQR的边长是
(A);(B);(C)2;(D)3.
答()
8.在锐角ΔABC中,,,,ΔABC的外接圆半径≤1,则
(A) 答() (C)c>2; (D)c=2. 答( ) 二、填空题 1.E是平行四边形ABCD中BC边的中点,AE交对角线BD于G,如果ΔBEG的面积是1,则平行四边形ABCD的面积是. 2.已知关于x的一元二次方程没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,. 3.设m,n,p,q为非负数,且对一切x>0,恒成立,则 . 4.四边形ABCD中,∠ABC,∠BCD,AB,BC, CD=6,则AD=. 第二试 x+y, x-y, xy, 四个数中的三个又相同的数值,求出所有具有这样性质的数对(x,y). 二、ΔABC中,AB<AC<BC,D点在BC上,E点在BA的延长线上,且 BD=BE=AC,ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点(如图). 求证: BF=AF+CF 三、将正方形ABCD分割为个相等的小方格(n是自然数),把相对的顶点A,C染成红色,把B,D染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明: 恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数. 1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题 本题共有8个题,每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.满足的非负整数的个数是 (A)1;(B)2;(C)3;(D)4. 2.若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是 (A)>(B)=(C)>;(D)不确定. 3.若,则的个位数字是 (A)1;(B)3;(C)5;(D)7. 答() 4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于,则这个多边形的边数必为 (A)7;(B)6;(C)5;(D)4. 答() 5.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图像分别相交于A点和C点.若和的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是 (A)(B) (C)(D)不确定 答() 6.在一个由个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,则的整数部分是 (A)0;(B)1;(C)2;(D)3. 答() 7.如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC,FA=AB. 则AE: EB等于 (A)1: 2(B)1: 3 (C)2: 5(D)3: 10 答() 8.设均为正整数,且 ,则当的值最大时,的最小值是 (A)8;(B)9;(C)10;(D)11. 答() 二.填空题 1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________. 2.若,则的最大值是__________. 3.在中,的平分线相交于点,又于点,若,则. 4.若都是正实数,且,则. 第二试 一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根,当这样的三角形只有一个时,求的取值范围. 二、如图,在中,是底边上一点,是线段上一点,且. 求证: . 三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0,1,2,3,5,6这六个不同数字组成,现有四个编码如下: A: 320651 B: 105263 C: 612305 D: 316250 已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求: M和N. 1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题 本题共有8个小题,每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.多项式除以的余式是 (A)1;(B)-1;(C);(D); 2.对于命题 Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形. Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对(B)Ⅰ对,Ⅱ错(C)Ⅰ错,Ⅱ对.(D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设是实数,.下列四个结论: Ⅰ.没有最小值; Ⅱ.只有一个使取到最小值; Ⅲ.有有限多个(不止一个)使取到最大值; Ⅳ.有无穷多个使取到最小值. 其中正确的是 (A)Ⅰ(B)Ⅱ(C)Ⅲ(D)Ⅳ 4.实数满足方程组 其中是实常数,且,则的大小顺序是 (A);(B); (C);(D). 5.不等式的整数解的个解 (A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于5 6.在中,, 则的值是 (A)(B) (C)(D). 答() 7.锐角三角ABC的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,那么m: n: p等于 (A);(B) (C)(D). 答() 8.可以化简成 (A);(B)(C)(D) 答() 二.填空题 1.当x变化时,分式的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球. 3.若方程有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则=____________. 4.锐角三角形ABC中,.以BC边为直径作圆,与AB,AC分别交于D,E,连接DE,把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1,S2,则S1: S2=___________. 第二试 一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积的值变小,变大,还是不变? 证明你的结论. 二.中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB,AC上分别取点D,E,使线段DE将分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度. 三.已知方程分别各有两个整数根及,且. (1)求证: (2)求证: ≤≤; (3)求所有可能的值. 1994年全国初中数学联赛试题 第一试 (4月3日上午8: 30—9: 30) 考生注意: 本试共两道大题,满分80分. 一、选择题(本题满分48分,每小题6分) 本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分. 〔答〕() 2.设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A.都不小于0 B.都不大于0 C.至少有一个小0于 D.至少有一个大于0 〔答〕() 3.如图1所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA相切,若BC=2,DA=3,则AB的长 A.等于4 B.等于5 C.等于6 D.不能确定 〔答〕() A.1 B.-1 C.22001 D.-22001 〔答〕() 5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD相交成如图2所示的图形,则共得同旁内角 A.4对 B.8对 C.12对 D.16对 〔答〕() 〔答〕() 7.设锐角三角形ABC的三条高AD,BE,CF相交于H。 若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是 〔答〕() A.1001 B.1001,3989 C.1001,1996 D.1001,1996,3989 〔答〕() 二、填空题(本题满分32分,每小题8分) 各小题只要求在所给横线上直接填写结果. 3.在△ABC中,设AD是高,BE是角平分线,若BC=6,CA=7,AB=8,则DE=______. 4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上,使它们两两外切,若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于______. 第二试 (4月3日上午1
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