全等三角形(历年中考难题).doc
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全等三角形(历年中考难题).doc
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红城教育培训学校数学教研组制作
制作人:
汪皞
监制:
汪校长黄校长童老师
(第6题)
全等三角形专题
(一)姓名:
1.如图,平分于点,点是射线上的一个动点,若,则的最小值为()
A.1B.2C.3D.4
2.如图所示,两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起,且∠DAB=30°。
有以下四个结论:
①AF⊥BC;②△ADG≌△ACF;③O为BC的中点;④AG:
DE=:
4,其中正确结论的序号是.(错填得0分,少填酌情给分)
3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连结BE、EC.
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
A
B
C
D
E
4.八
(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图).设计了如下方案:
(Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?
若可行,请证明;若不可行,请说明理由.
(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?
请说明理由.
5.(2010湖南娄底)如图10,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连结AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD
6.(2010江苏扬州)电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC,AB=6,AC=7,BC=8.如果跳蚤开始时在BC边的P0处,BP0=2.跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1(第一次落点)处,且CP1=CP0;第二步从P1跳到AB边的P2(第一次落点)处,且AP2=AP1;第三步从P2跳到BC边的P3(第三次落点)处,且BP3=BP2;……;跳蚤按上述规则一致跳下去,第n次落点为Pn(n为正整数),则点P2007与P2010之间的距离为()
A.1 B.2C.3 D.4
A
B
C
P0
P3
P2
P1
第8题
7.(2010安徽蚌埠)在中,分别是上的点,,交于点,若,则四边形的面积为________。
8.(2010安徽蚌埠)三角形纸片内有100个点,连同三角形的顶点共103个点,其中任意三点都不共线。
现以这些点为顶点作三角形,并把纸片剪成小三角形,则这样的三角形的个数为__________。
9.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色三角形有个.
10、(2009临沂)数学课上,张老师出示了问题:
如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.,且EF交正方形外角的平行线CF于点F,求证:
AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证,所以.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:
如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3
11、(2009年牡丹江)已知中,为边的中点,
绕点旋转,它的两边分别交、(或它们的延长线)于、
当绕点旋转到于时(如图1),易证
当绕点旋转到不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,、、又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
A
E
C
F
B
D
图1
图3
A
D
F
E
C
B
A
D
B
C
E
图2
F
12.(2008山东泰安)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,在同一条直线上,连结.
图1
图2
D
C
E
A
B
(第22题)
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:
结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明:
.
13、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,,BD=DC.探究:
当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系.
图1图2图3
(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;此时;
(II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
(III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,
若AN=,则Q=(用、L表示).
14、已知四边形中,,,,,,绕点旋转,它的两边分别交(或它们的延长线)于.
当绕点旋转到时(如图1),易证.
当绕点旋转到时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
(图1)
(图2)
(图3)
15正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
16、如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(第23题图)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
17、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:
OE=OD
18、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=,AC=,求AE、BE的长.
1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证:
CD⊥AC
全等三角形难题
1.在△ABC中,AB=AC,∠A=20°,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCB=50°,∠EBC
=60°,求∠DEB的度数。
2.在三角形ABC中,AB=AC,AD平分角ABC交AC于D,AD+BD=BC,求角A的度数。
3.在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E是直线AC上的两个动点,且AD=EC,
AM⊥BD,垂足为M,AM的延长线交BC于N,直线BD直线NE相交于点F,试判断三角形DEF
的形状,并加以证明。
4.如图,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,点E是BD的中
点,连结AE.
(1)求证:
∠AEC=∠C
(2)求证:
BD=2AC
(3)若AE=6.5,AD=5,那么△ABE的周长是多少?
全等三角形中的动态几何问题
汪老师:
动态几何题,是指以几何知识和几何图形为背景,渗透运动变化观点的一类试题;而通过对几何图形运动变化,使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程,是中考数学试题中,考查创新意识、创新能力的重要题型;解决这类问题,要善于探索图形的运动特点和规律,抓住变化中图形的性质与特征,化动为静,以静制动.本文以中考试题中的全等三角形动态几何题为例,谈谈这类问题的解题思路,供同学们学习时参考.
例1.(扬州)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:
DE=AD-BE;
A
B
C
D
E
M
N
图2
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系,并加以证明.
A
C
B
E
D
N
M
图3
C
B
A
E
D
图1
N
M
证明:
评注:
本题以直线MN绕点C旋转过程中与△ABC的不同的位置关系为背景设置的三个小题,第
(1)小题的两个小题中,①是②的台阶,只要证明了①,不难得到②;第
(1)小题思路又作为解决第
(2)小题的借鉴;第(3)小题为探索性问题,探索的结论及证明过程可借鉴第
(1)、
(2)两小题,整个试题考查了同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力.
例2 (锦州)如图A,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?
请证明你的结论;
(2)将图A中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图B,
(1)中的结论还成立吗?
作出判断并说明理由;
(3)
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- 全等 三角形 历年 中考 难题