例谈等面积法在初数学解题中的应用.doc
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例谈等面积法在初中数学解题中的应用
贵州省榕江县三江中学潘光联
等面积法是一种常用的、重要的数学解题思想方法。
它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等”等性质解决有关的数学问题。
在解题中,灵活运用等面积法解答相关问题,可以使解题思路清晰,解题过程简捷。
下面举例说明等积法在初中数学解题中的应用:
一.求三角形的高
例1.如图1所示,在△ABC中,AB=10,BC=6,AC=8,求AB边上的高CD的长.
解:
在△ABC中,
∴△ABC是直角三角形.
利用三角形面积计算公式得,
即
二.求图形的面积
例2.如图2所示,⊙O的半径为3,OA=6,AB切⊙O于B,弦BC∥OA,连接AC,则图中阴影部分的面积是多少?
分析:
连接OB、OC,将图中不规则的阴影部分的面积转化为扇形0BC的面积是解决此问题的切入点和关键.
解:
连接OB、OC,
由BC∥OA知,△OCB与△ACB的边CB上的高相等.
故由等积性质可知,
易知,∠BOC=.
所以.
三.求三角形内切圆半径
例3.如图3所示,已知⊙O是△ABC的内切圆,∠C=,AC=4,BC=3.求
⊙O的半径.
解:
设⊙O的半径为r,连接0A、0B、OC、OE、OF、OG..
∵⊙O是△ABC的内切圆,
∴OG⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,且
OE=OF=OG=r.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
于是由,得
即
∴
四.求函数的解析式
例4.如图4所示,线段AB=8,直线m与⊙o相切于点 D,且m∥AB,P是直线m上的一点,PB交以AB为直径的圆于C,连结AC.设PB=x,AC=y,求y与x的函数关系式.
分析:
因为AB是⊙O的直径,所以AC⊥BP,又因为把直线m与⊙o相切于点 D,且m∥AB,所以DO⊥AB,BP和AC看成三角形的底和高,于是很自然地连接AP、OD,利用同一个三角形的面积相等的性质,就可以得到x与y的关系.
解:
连结AP,
∵AB是⊙O的直径,
∴AC⊥BP.
又∵直线m与⊙o相切于点 D,且m∥AB,
∴DO⊥AB
即△ABP的AB边上的高是4,
∴即xy=8×4.
(x>4).
五.在探究规律题中的应用
例5.如图-5所示,将一个边长为1的正方形平均分成两个面积是矩形,又将一个面积为矩形平均分成两个面积是的矩形,再将一个面积为的矩形平局分成两个面积是的矩形,如此进行分割下去,如果分割n次后,按图中揭示的规律计算:
分析:
分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积根,得
于是利用这个规律就可以把问题解决.
解:
=
总之,等面积法是一种重要的数学解题思想方法。
利用此法解决相关数学问题时,不但思路清晰、过程简捷,而且更能体现出知识间的相互联系,更有利于培养学生的数学思维能力,发展学生的数学能力。
在数学解题教学中值得借鉴。
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- 面积 数学 解题 中的 应用