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由上述对模型特性的分析可以认为,原型和模型是一对具有密切联系的对偶体,模型来源于原型,但并不是对原型简单的模仿,由原型到模型要经过对原型的简化和加上人为的一些假设。
因此,一般来说,模型不是原型原封不动的复制品,或者说模型与原型之间不是一个同构对应,而只能是某一(或某些)方面的近似反映。
模型是人们为了认识和理解原型而对它所作的抽象与升华,它通过对模型的分析、研究加深对原型的理解和认识。
原型有各个方面和各种层次的特征,而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。
为了不同的目的,一个原型可以有许多不同的模型。
根据人们的目的,从现实对象中选一部分所关心的特征或属性来进行描述,其他方面的特征或属性将不予以考虑(对于其他的一些特征或属性,实际原型与模型甚至可以相差很远)。
譬如,一般地图是大地的一种模型,它保持各地区之间的距离和位置不变;
铁路线路示意图也是大地的一种模型,它只表示铁路线的联结情况,并不保持各点间的距离不变。
这两种模型是人们为了不同的目的,对大地的属性所作的不同的近似描述。
又譬如,放在展厅里的飞机模型,它在外形上逼真,但是不一定会飞;
而参加航模比赛的模型飞机就要求具有良好的飞行性能,在外观上可不必苛求;
至于在飞机设计、试制过程中用的抽象模型(即数学模型)和计算机模拟,则是要求在数量规律上真实反映飞机的飞行动态特性,毫不涉及飞机的实体。
所以,模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。
模型所反映的内容将因其使用的目的不同而不同。
模型有各种形式,用模型替代原型的方式来分类,模型可以分为物质模型(形象模型)和思想模型(抽象模型)。
前者包括直观模型、物理模型等,后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
(1)直观模型。
指那些供展览用的实物模型。
如玩具、教具、展览馆或科技馆的展具、照片等。
此类模型通常是将原型的尺寸按比例缩小或放大,主要追求外观上的逼真。
这类模型具有一目了然的效果。
(2)物理模型。
主要指科技工作者为一定目的,根据物理学的相似原理构造的模型。
它不仅可以显示原型的外形或某些特征,而且可以用来进行模拟实验,间接地研究原型的某些规律。
如波浪水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能;
风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性。
有些现象直接用原型研究非常困难,便可借助于这类模型,如地震模拟装置,核爆炸反应模拟设备等。
在运用这类模型进行研究时应注意验证原型与模型间的相似关系,以确定模拟实验结果的可靠性。
物理模型常可得到很有实用价值的结果,但也存在成本高、时间长、不灵活等缺点。
(3)思维模型。
指通过人们对原型的反复认识,将获取的知识以经验形式直接贮存于人脑中,从而可以根据思维或直觉作出相应决策的模型。
它是人思维中的经验模型。
如汽车司机对方向盘的操纵以及一些技艺性较强的工种(如钳工)的操作,大体上是靠这类模型进行的。
思维模型便于接受,也可以在一定条件下获得满意的结果,但是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点,难以对其假设条件进行检验,并且不便于人们的相互沟通。
(4)符号模型。
是指在一些约定或假设下借助于特定的符号、线条等,按一定形式组合连接起来的模型。
如数学、物理、化学中的公式、表达式、地图、电路图、化学结构式等,具有简明、方便、目的性强及非量化等特点。
3数学模型(MathematicalModel)
关于数学模型目前尚无一个公认的定义。
但数学模型存在广义和狭义两种解释。
广义的解释,自从有了数学并要用数学去解决实际问题时,就一定要使用数学的语言、方法去近似地刻划这个实际问题,这就是数学模型。
因此,一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式(代数方程、函数方程、微分方程、差分方程,积分方程……)以及由公式系列构成的算法系统等等,都可称之为数学模型。
数、几何图形、函数、导数、积分、向量、集合、群、环、域、范畴、线性空间、拓扑空间、数学物理方程以至于广义相对论、规范场等都是非常成功的数学模型。
运筹学以及统计学的大部分内容也都是关于数学模型的讨论和分析。
按照这种观点,数学模型并不是新的事物,很久以来它就一起伴随在我们身边。
可以说在数学的发展进程中无时无刻不留下数学模型的印记。
整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。
这种解释我们认为太宽泛了,以致于数学模型方法在数学中失去了特定的意义。
狭义的解释,所谓数学模型,就是为了特定目的,针对或参照某种事物系统的主要特征或主要关系,用形式化的数学语言,概括地或近似地表述出来的一种数学结构。
只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学结构才叫做数学模型。
这里的数学结构,有两方面的具体要求:
第一,这种结构是一种纯关系结构,即必须是经过数学抽象扬弃了一切与事物无本质联系的属性后的系统的结构;
第二,这种结构是用数学概念和数学符号来表述的,它借助于数学符号、公式、图表等刻划客观事物的本质属性与内在规律,是系统的某种特征本质的数学表达式。
数学模型是通过抽象和简化,使用数学语言对客观事物的某些属性与内在特征的一个近似的刻画,是对现实对象的信息通过提炼、分析、归纳、升华的结果。
通过数学上的演绎推理和分析求解,使得我们能够深化对所研究的实际问题的认识,是人们用以认识现实系统和解决实际问题的工具。
譬如:
牛顿第二定律使用公式F=mdx2/dt2来描述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型,其中x(t)表示运动的物体在时刻t的位置,m为物体的质量,而F表示运动期间物体所受的外力。
这一模型忽略了阻力、物体的形变、物体的形状和大小,抓住了物体受力运动的主要因素,从而大大深化了力与物体运动规律的研究;
在考虑两个物体之间的相互作用时,对于它们之间的相互吸引这种属性,可以用数学公式F=k
来表示吸引力与其它因素之间的关系,这就是物质相互吸引的数学模型;
一个线性弹簧,考查其形变x与弹力F之间的关系,可以用数学公式F=–kx来表示它们之间的规律,其中负号表示形变的方向与弹力方向相反;
描述人口N(t)随时间t自由增长过程的数学模型dN(t)/dt=rN(t),尽管由于它忽略了性别、年龄、社会、经济和自然界的约束条件等许多与人口增长有密切关系的因素,相对于实际人口的动态来说被大大简化了。
但它所揭示出的在一定时期内人口成等比级数增长的结论是人们不得不面对的严酷事实。
作为现实问题的数学模型,具有如下几个基本特性:
(1)抽象性。
数学模型是为了实现某种目的,在保留现象的某些本质方面的前提下,而舍弃现象中的许多非本质方面,舍弃现实原型中的非本质属性,弱化次要因素,使本质要素形式化,从而对原型作出简化而本质性的刻划。
因此,比原型具有抽象性是十分自然的,这样的抽象也显示出概括性特征,使同一个数学模型可以运用到不同的实际情景中去。
这个抽象不同于数学理论中的抽象思维。
它是要求人们从实际问题中抽象出其中的数学内涵。
(2)实践性。
任何一个数学模型都有其实际背景,都是从特定的实际问题中抽象出来的,离开实际背景而定义的或想象出来的数学表达不可能准确地描述特定的实际问题。
因此,一个好的数学模型必须具有实际背景、有明确的针对性,要接受实践的检验,并且被证明是正确的、可用的。
(3)数量性。
数量性是数学模型所特有的。
它体现了数学模型不同于其它各种思维模型,是一种用数学语言表达的定量化的模型。
用数学语言的描述往往比其它模型更概括、更精炼、更准确,也更能抓住事物的本质。
建立数学模型以后,对对象的研究可以完全转化在数学演绎的范畴进行,一般来说要比用其它方法更为有效、便捷。
(4)准确性。
由于数学模型是用数学语言表述的数学结构,因此克服了自然语言含糊不清,叙述过繁、容易产生歧义等不足,实际问题中的各种关系及问题结构得到了比较精确的表述。
(5)预测性。
建立数学模型的目的是为了解决实际问题,数学模型的研究结果要能够经得起实际问题的检验,与实际结果相符或近似相符(不超过人们所期望的范围),或为实际问题的解决提供可行、有效的方案与程序。
具有这样预测性的数学模型才有生命力,否则,必将被舍弃或修正。
数学模型不是原型的复制品,数学模型与原型之间不是一个同构对应,而是为一定的目的对原型所作的一种抽象模拟,是对原型的数量相依关系的一个反映。
它用数学式子、数学符号、程序、图表等刻画客观事物的本质属性与内在联系,是对现实世界的抽象、简化而又本质的描述。
它源于现实,且高于现实。
它或者能解释事物的各种性态,预测它将来的性态;
或者能为控制某一事物的发展提供最优化策略等等,都是为了最终达到解决实际问题之目的。
4数学建模(MathematicalModeling)
用数学方法解决实际问题,要求从实际错综复杂的关系中找出其内在规律,然后用数字、图表、符号和公式将它表示出来,再经过数学与计算机的处理,得出供人们进行分析、决策、预报或者控制的定量结果,这种将实际问题进行简化归结为数学问题并求解的过程就是数学建模。
广义而言,数学本身就是刻画现实世界的模型。
数学的研究既不像物理学、化学、生物学那样以自然界的具体运用形态为对象,也不像经济学、社会学、政治学那样以社会的具体运动形态为对象。
数学研究的是形式化、数量化的思想材料。
而按照唯物主义认识论的观点,思想只能来源于现实世界,但不是原原本本复制现实世界,需要经过一定的加工、抽象,这种思想材料的获取过程,实际上就是对现实世界研究对象的建模。
如原始人从“数”(shǔ)猎物中创造了“数”(shù
),这就是建模;
古埃及人在丈量土地时发明了三角,这也是建模;
而微积分基本上可以视为是17世纪时对力学、天文学问题的数学建模。
因此可以说,建模本身就是数学发展的原动力。
现代数学就其研究对象而言,相当多数已经很难看出原型的痕迹,因而也不称其为“模型”。
从学科发展来讲,数学既然是研究思想材料的学科,那么一旦思想的框架以公理化的形式建造起来,就可以按照自身的体系和逻辑,演绎出一个繁杂庞大的理性世界,数学工作者们不断地去了解、熟悉它,并通过自己的工作去参与构筑这个理性世界大厦,这样数学学科便不断丰富发展。
这些工作当然是必要的和有意义的,但另一方面,多数人更感兴趣的问题是这个理性世界能否与某部分现实世界对应,以更好地运用它来描述解决现实世界的问题?
这就需要我们重新回到实际问题中去,采用有别于经典的严格意义下的数学思维方式,针对特定问题与特定目的进行必要的简化、假设,选取适当的数学工具进行研究,这就是当今意义下的数学建模。
在实践中所能遇到的往往是数学和其他东西混杂在一起的问题。
而且对于如何使用数学语言来描述所面临的实际问题也往往不是轻而易举的,其中的数学奥妙不是明摆在那里,而是暗藏在深处等着我们去发现,我们要对实际问题中看起来杂乱无章的复杂现象进行分析,发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律,从中抽象出恰当的数学关系,将这个实际问题化成一个数学问题,这个过程就是数学建模。
与数学不同,数学模型的组建的过程不仅要进行演绎推理而且还要对复杂的现实进行归纳、总结和提炼,这是一个归纳总结与演绎推理相结合的过程。
5数学模型思想(mathematicalmodelidea)
所谓数学模型思想,是指首先将所研究和考察的实际问题化为数学问题,构造出相应的数学模型,然后对数学模型进行研究,使原来考察的现实问题得以解决的一种“数学化”。
简单地说,就是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决现实问题的一种“数学化”。
第2节数学模型思想的基本步骤
1分析问题
在运用模型思想解决现实问题时,首先应对问题的背景和结构有深刻的了解,为此,必须对该问题进行全面细致的分析,挖掘问题的各种信息,分析问题所涉及的量的关系,把握问题的基本特征。
2简化假设
现实问题常常涉及多方面的因素,因此,要想建立一个数学模型来反映一个现实问题,面面俱到、无所不包是不可能的,为便于运用数学方法顺利、有效地解决实际问题,就必须对现实问题进行理想化抽象。
根据现实问题的特征和建模的目的,在分析问题基础上,用精确的语言作出假设,对问题实施必要的简化和理想化。
3建立模型
根据对现实问题的分析和简化假设,利用适当的数学工具刻画各变量之间的关系,建立相应的数学模型(公式、表格、图形等),这是运用数学模型思想解决现实问题的关键一步。
其要点是将错综复杂的现实问题简化、抽象出合理的数学结构,使现实问题中的概念和关系与数学系统中的概念和关系有效对应。
4求解模型
求解模型是运用数学方法及计算机技术对所建立的数学模型进行求解,从而获得现实问题的数学模型的数学解。
对数学模型求解,一般包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明等等,但不存在万灵的求解方法,要求建模者掌握相应的数学知识和必要的计算手段与技能。
5分析模型
由于在建立数学模型时所作的简化假设和所附加的数据测量与计算误差,所建模型的结果未必能满足实际要求,因此,必须对所建模型及其结果进行分析。
对模型求出的解进行数学上的分析。
这样,就要根据问题的性质与要求对变量间的依赖关系进行分析和对解的稳定性、敏感度及误差进行分析。
6检验模型
完成模型的建构及求解分析之后,还需要对模型的真实性,合理性和适用性进行检验。
模型只有在被检验、评价、确认基本符合要求之后,才能被接受。
7修改模型
一个数学模型被检验后如果不符合实际或与实际的偏差程度不能被接受时,则应采取措施来修改或重建数学模型,然后将修正过或新建立的数学模型再返回到现实原型进行检验,考察其是否符合客观实际,若不符合,再进行修正或重新建模,直至获得符合现实问题的数学模型。
8应用模型
数学模型的应用价值取决于其是否具有广泛的适用性,因此应推广所建立的数学模型,扩大数学模型的应用范围,以提高其使用价值。
模型应用就是将所建立的数学建模用于分析、解释已有的现象,预测未来的发展趋势,研究和解决其它现实问题。
由于数学模型的建立一般是在一定的假设条件下完成的,因此,数学模型的应用也有一定的适用条件和范围,不能将模型盲目地运用于与条件、范围不相符的问题。
数学模型思想的各步骤之间有着密切的联系,是一个统一的整体,不能截然分开。
然而,在实际的数学建模过程中并非都必须严格经过上述这些步骤,通常各个步骤之间的界限也并不那么明显,上述步骤往往相互交融。
在建模过程中应灵活运用。
下面通过一例说明数学模型思想的基本步骤。
例在铅球的训练和比赛中,教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。
影响铅球投掷远度的因素有哪些?
哪些是影响铅球投掷远度的主要因素?
在平时训练中,应该更注意哪些方面的训练?
1问题背景与分析:
用现代数学方法研究体育运动是从上世纪七十年代开始的。
1973年,美国的应用数学家J.B.开勒提出了赛跑的理论,并用其理论训练中长跑运动员,取得了很好的成绩。
几乎同时,美国的计算专家艾斯特运用数学、力学,并借助计算机研究了当时铁饼投掷世界冠军的投掷技术,从而提出了他自己的研究理论,据此提出了改正投掷技术的训练措施,从而使这位世界冠军在短期内将成绩提高了4米,在一次奥运会的比赛中创造了连破三次世界纪录的辉煌成绩。
数学在体育训练中也在发挥着越来越明显的作用,铅球的投掷问题自然也可考虑用数学方法来探讨。
2简化假设:
为方便研究起见,我们不考虑投掷者在投掷圆内用力阶段的力学过程。
只考虑铅球脱手时的初速度和投掷的角度对铅球投掷远度的影响。
为此,不妨将铅球视为一个抛射体。
可以做出如下三个假设。
(1)将铅球视为一个质点;
(2)铅球运行过程中忽略空气的阻力;
(3)投掷角和初速度相互独立。
3模型的建立:
以铅球出手点的铅垂方向为y轴(向上为正),以y轴与地面的交点到铅球落地点方向为x轴构成平面直角坐标系,在此坐标系内考虑铅球的运动。
记v为铅球出手时的速度,α为投掷角,h为铅球出手时的高度,t为铅球运动的时间(t=0时铅球出手)。
则由物理学可以得到铅球的运动方程
x=(vcosα)t
y=(vsinα)t–
gt2+h,
其中g=9.8m/s2是重力加速度。
消去t可得铅球运动轨迹的方程
y=
+(tanα)x+h①
若铅球投掷的远度为s,则轨迹将于(s,0)点与x轴相交,将它代入①式,解出s可得
S=
②
②式描述了铅球投掷的远度s与投掷时的出手速度及投掷角度之间的关系。
4模型求解与分析:
表1列出了由我国前优秀的女子铅球运动员李梅素和前苏联运动员斯卢皮亚内克的几组实测数据。
表中的远度是根据公式②算出的模型值。
与实测成绩相比较,仅差20cm左右。
这是因为远度s中并没有包括铅球出手的瞬间超出抵趾板内沿的距离。
由此可见,用模型②来讨论v,h,α三个因素与投掷铅球成绩的关系是可行的。
表1李梅素与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩
姓名
出手速度
v(m/s)
出手高度
h(m)
出手角度
α(o)
最佳角度
α(o)
远度
s(m)
实测成绩
李梅素
13.75
1.90
37.60
42.43
20.68
21.10
20.95
13.52
2.00
38.69
42.37
20.22
20.55
20.30
斯卢皮
亚内克
13.77
2.06
40.00
42.25
21.25
21.31
21.41
(1)最佳出手角度
由模型②可以看出,铅球的出手速度v和出手高度h越大,远度s就越大。
现在考虑当v,h一定时,如何选择最佳的出手角度,使远度达到最大。
这是一个函数求极值的问题。
求s关于α的一阶导数,令其为0并整理得出,最佳出手角度α将满足如下方程
+v2sin2αcos2α–2ghsin2α=0。
将此方程有理化,并整理可得
cos2α=
③
从理论上分析③式不难得到:
由于h>
0,α>
0,故有0<
α≤45o。
特别当h=0时(出手点与落地点在同一高度),最佳出手角度α=45o。
给定铅球的出手高度h,出手速度v变大,相应的最佳出手角度α也随之变大。
如果给定出手速度v,增加铅球的出手高度,相应的出手角度反而变小。
(2)投掷铅球的最佳模式
为了教练使用方便,利用模型②式和③式可以提供一个投掷铅球的最佳模式表。
根据来自优秀女子铅球运动员的技术数据,选定出手速度(10m/s~15m/s)和出手高度(1.90m~2.1m)。
利用③式可以算出最佳出手角度α(o),然后利用②式求出相应的远度s(m),列表2如下:
表2投掷铅球的最佳模式
V
α,s
h
10
11
12
13
14
14.5
15
1.9
40.48
11.95
41.16
14.11
41.71
16.48
42.15
19.05
42.51
21.81
42.76
23.27
42.80
24.78
2.0
40.28
12.03
40.99
14.20
41.55
16.57
42.01
19.14
42.39
21.90
42.55
23.36
42.70
24.87
2.1
40.08
12.12
40.82
14.29
41.40
16.65
41.88
19.29
42.27
22.00
42.44
23.46
42.59
24.97
表2中每一格内左上角的数字是最佳的出手角度,右下角的数字给出了铅球相应的投掷远度。
教练可以用这个表来指导训练。
譬如,已知一个运动员的铅球出手高度h=2m,出手速度v=13m/s,那么从表1–2中就可以查出最佳的出手角度α=42.01o,这时远度s=19.14m;
再譬如一个运动员要想成绩突破23m大关,从表1–2中可以查出其出手速度必须接近14.5m/s。
(3)主要因素分析
模型②式给出了铅球投掷的远度(s)与影响它的三个因素(出手高度h、出手速度v和出手角度α)之间的关系。
尽管我们使用数学的工具着重分析了有关最佳出手角度的问题。
但h,v,α这三个因素中哪个是最主要的?
哪个是次要的?
可能是教练和运动员更关心的问题。
这个问题可以通过模型对各个变量的灵敏度分析而获得解答。
即逐步讨论各变量的变化对远度s的影响程度。
影响大的因素在模型中称之为灵敏的,而影响小的称之为不灵敏的。
由于模型的数学表达式较为复杂,直接使用数学方法
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