人教版初中数学第十八章平行四边形知识点.docx
- 文档编号:1719893
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOCX
- 页数:6
- 大小:139.70KB
人教版初中数学第十八章平行四边形知识点.docx
《人教版初中数学第十八章平行四边形知识点.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教版初中数学第十八章平行四边形知识点.docx(6页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第十八章平行四边形
18.1平行四边形
平行四边形定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形用“□”表示,读作“平行四边形”.平行四边形ABCD记作“□ABCD”.
18.1.1平行四边形的性质
平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点.
例、已知:
□ABCD求证:
AD=BC,AB=DC;∠A=∠C,∠B=∠D.
证明:
连接AC,
又AC是△ABC和△CDA的公共边,
∴△ABC≌△CDA,
平行四边形性质1:
平行四边形的两组对边分别相等.
平行四边形性质2:
平行四边形的两组对角分别相等.
例、已知:
如图:
□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证:
OA=OC,OB=OD.
证明:
四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC,AD∥BC.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∴△AOD≌△COB(ASA).
∴OA=OC,OB=OD.
平行线之间的距离定义:
若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.
平行线之间的距离特征1:
平行线之间的距离处处相等.
平行线之间的距离特征2:
夹在两条平行线之间的平行线段相等.
平行四边形性质3:
平行四边形的两条对角线互相平分.
例、如图,□ABCD中,BD⊥AB,AB=12cm,AC=26cm,求AD、BD长.
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO=AC,OB=OD.
∵BD⊥AB,∴在Rt△ABO中,AB=12cm,AO=13cm.
∴BO=.∴BD=2B0=10cm.
∴在Rt△ABD中,AB=12cm,BD=10cm.
∴AD=(cm).
例、如图,在□ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,△AOB的周长为25,AB=12,求对角线AC与BD的和.
解:
∵△AOB的周长为25,
∴OA+BO+AB=25,
又AB=12,∴AO+OB=25-12=13,
∵平行四边形的对角线互相平分,∴AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=26
18.1.2平行四边形的判定
平行四边形判定1:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形判定2:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定3:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定4:
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形判定5:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
中位线:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
例、如图,在□ABCD中,已知点E和点F分别在AD和BC上,且AE=CF,连结CE和AF,试说明四边形AFCE是平行四边形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,
∵点E在AD上,点F在BC上,
∴AE//CF,
又∵AE=CF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
例、如图,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.
求证:
(1)△AFD≌△CEB.
(2)四边形ABCD是平行四边形.
解:
(1)∵DF∥BE,∴∠AFD=∠CEB.又∵AF=CE,DF=BE,
∴△AFD≌△CEB.
(2)由
(1)△AFD≌△CEB知AD=BC,∠DAF=∠BCE,∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
N
M
F
E
A
B
C
D
例、如图,平行四边形ABCD中,E、F为边AD、BC上的点,且AE=CF,连结AF、EC、BE、DF交于M、N,试说明:
MFNE是平行四边形.
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD∥BC
又∵AE=CF,∴ED=FB,四边形AFCE是平行四边形
∴AF∥EC.同理:
BE∥FD.∴四边形MFNE是平行四边形.
18.2特殊的平行四边形
18.2.1矩形
矩形定义1:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形定义2:
有三个角是直角的四边形叫做矩形
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形,对称中心是两条对角线的交点,对称轴是各边的垂直平分线.
矩形性质1:
矩形的四个角都是直角.
矩形性质2:
矩形的对角线相等且互相平分.
直角三角形的性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形判定1:
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形判定2:
有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形判定3:
对角线相等的平行四边形是矩形.
例、如图,已知AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE,
求证:
四边形BCED是矩形.
证明:
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE,
∴BD=CE,又DE=BC,
∴四边形BCED为平行四边形.
在△ACD和△ABE中,
∵AC=AB,AB=AE,
,
∴△ADC≌△AEB
∴CD=BE
∴四边形BCED为矩形
18.2.2菱形
菱形定义1:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形定义2:
四条边都相等的四边形叫做菱形.
菱形既是中心对称图形又是轴对称图形,对称中心是两条对角线的交点,对称轴是对角线所在的直线.
菱形性质1:
菱形的四条边都相等.
菱形性质2:
菱形的对角线互相垂直平分.
菱形性质3:
菱形的每一条对角线平分一组对角.
菱形的面积:
菱形的面积等于对角线乘积的一半.
推广:
对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.
菱形判定1:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形判定2:
四条边都相等的四边形是菱形.
菱形判定3:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形判定4:
每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
18.2.3正方形
正方形定义1:
有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
正方形定义2:
有一个角是直角的菱形叫做正方形.
正方形定义3:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形既是中心对称图形又是轴对称图形,对称中心是两条对角线的交点,对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线.
正方形性质1:
正方形的四个角都是直角.
正方形性质2:
正方形的四条边都相等.
正方形性质3:
正方形的两条对角线互相垂直平分且相等.
正方形判定1:
有一组邻边相等的矩形是正方形.
正方形判定2:
有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形判定3:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
正方形判定4:
对角线垂直平分且相等的四边形是正方形.
例、如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8cm,
BD=6cm,DH⊥AB于H,求:
DH的长.
∵四边形ABCD是菱形,
,
∴AB=5cm,
,
.
例、已知:
如图,菱形ABCD的周长为16cm,∠ABC=60°,对角线AC和BD相交于点O,求AC和BD的长.
解:
∵菱形ABCD的周长为16cm,
∴AB=BC=4cm,△ABC是等边三角形,
∴AC=4cm,
∵AC,BD互相垂直平分,
∴OA=2
例、如图,在正方形ABCD中,P为对角线BD上一点,
PE⊥BC,垂足为E,PF⊥CD,垂足为F,
求证:
EF=AP
证明:
连接PC,
∵PE⊥BC,PF⊥CD,四边形ABCD是正方形,
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF,
∵P是正方形ABCD对角线上一点,
∴AD=CD,∠PDA=∠PDC,
在△PAD和△PCD中,AD=CD,∠PDA=∠PDC,PD=PD,
∴△PAD≌△PCD,
∴PA=PC,
∴EF=AP,
例、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
试说明:
DE=DF
解:
∵AB=AC,∠B=∠C
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠DEB≌DFC=90°
∵D是BC的中点
∴BD=DC
∴△BDE≌△CDF
∴DE=DF.
例、如图,ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,EF∥AB交AD于F,
试问:
四边形ABEF是什么图形吗?
请说明理由.
解:
四边形ABEF是菱形.
理由:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∵EF∥AB,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠FAE,
∵AD∥BC,
∴∠FAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,
∴▱ABEF是菱形.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 人教版 初中 数学 第十八 平行四边形 知识点