专题几何中的最值问题.doc
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专题几何中的最值问题.doc
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几何中的最值问题(讲义)
一、知识点睛
几何中最值问题包括:
“面积最值”及“线段(和、差)最值”.
求面积的最值,需要将面积表达成函数,借助函数性质结合取值范围求解;
求线段及线段和、差的最值,需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.
一般处理方法:
线段最大(小)值
线段差最大
线段和(周长)最小
平移
对称
旋转
平移
对称
旋转
转化
构造三角形
使目标线段与定长线段构成三角形
使点在线同侧
(如下图)
使点在线异侧
(如下图)
三角形三边关系定理
三点共线时取得最值
两点之间,线段最短
垂线段最短
常用定理:
两点之间,线段最短(已知两个定点时)
垂线段最短(已知一个定点、一条定直线时)
三角形三边关系(已知两边长固定或其和、差固定时)
|PA-PB|最大,
需转化,使点在线同侧
PA+PB最小,
需转化,
使点在线异侧
二、精讲精练
1.如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm.
第1题图第2题图第3题图第4题图
2.如图,点P是∠AOB内一定点,点M、N分别在边OA、OB上运动,若∠AOB=45°,OP=3,则△PMN周长的最小值为.
3.如图,正方形ABCD的边长是4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P,Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值为.
4.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为.
5.如图,当四边形PABN的周长最小时,a=.
第5题图第6题图第7题图
6.在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,则点F的坐标为.
7.如图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN上运动,则的最大值等于.
8.点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标系如图所示.若P是x轴上使得的值最大的点,Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点,则= .
第8题图第9题图第10题图
9.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为_________.
10.如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD,则CD长度的最小值为.
11.如图,点P在第一象限,△ABP是边长为2的等边三角形,当点A在x轴的正半轴上运动时,点B随之在y轴的正半轴上运动,运动过程中,
点P到原点的最大距离是________.若将△ABP中边PA
的长度改为,另两边长度不变,则点P到原点的
最大距离变为_________.
第11题图图
12.动手操作:
在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时,折痕的端
点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,
则点A′在BC边上可移动的最大距离为.
13.如图,直角梯形纸片ABCD,AD⊥AB,AB=8,AD=CD=4,点E、F分别在线段AB、AD上,将△AEF沿EF翻折,点A的落点记为P.
(1)当P落在线段CD上时,PD的取值范围为;
(2)当P落在直角梯形ABCD内部时,PD的最小值等于.
14.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4,M、N两点分别是边
AB、AC上的动点,将△AMN沿MN翻折,A点的对应
点为A′,连接BA′,则BA′的最小值是_________.
几何中的最值问题(作业)
1.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=6,对角线AC平分∠BAD,点E在AB上,且AE=2(AE<AD),点P是AC上的动点,则PE+PB的最小值是__________.
第1题图第2题图第3题图第4题图
2.在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为____________cm(结果不取近似值).
3.如图,一副三角板拼在一起,O为AD的中点,AB=a.将△ABO沿BO对折于△A′BO,点M为BC上一动点,则A′M的最小值为.
4.如图,在锐角△ABC中,,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值为___________.
5.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,P、Q两点分别是边AC、BC上的动点,将△PCQ沿PQ翻折,C点的对应点为,连接A,则A的最小值是_________.
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,
点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上
运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,
点B到原点的最大距离是.第5题图第6题图
7.一次函数y1=kx-2与反比例函数y2=(m<0)的图象交于A,B两点,其中点A的坐标为(-6,2)
(1)求m,k的值;
(2)点P为y轴上的一个动点,当点P在什么位置时|PA-PB|
的值最大?
并求出最大值.
8.已知点A(3,4),点B为直线x=-1上的动点,设B(-1,y).
(1)如图1,若点C(x,0)且-1<x<3,BC⊥AC,求y与x之间的函数关系式;
(2)如图2,当点B的坐标为(-1,1)时,在x轴上另取两点E,F,且EF=1.线段EF在x轴上平移,线段EF平移至何处时,四边形ABEF的周长最小?
求出此时点E的坐标.
图1图2
9.如图,已知平面直角坐标系中A,B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1).
(1)若P(p,0)是x轴上的一个动点,则当p=________时,△PAB的周长最短;
(2)若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点,则当a=________时,四边形ABDC的周长最短;
(3)设M,N分别为x轴和y轴上的动点,请问:
是否存在这样的点M(m,0),N(0,n),使四边形ABMN的周长最短?
若存在,请写出m和n的值;若不存在,请说明理由.
【精讲精练参考答案】
1.15 2.6 3. 4. 5. 6.(,0) 7.5 8.3 9. 10.5 11.; 12.2
13.
(1);
(2)
14.
【作业参考答案】
1. 2. 3. 4.4 5.2 6.
7.
(1);
(2)当点P的坐标为(0,-10)时,|PA-PB|的最大值为;
8.
(1);
(2).
9.
(1);
(2);(3)
5
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