第四章-可测函数.ppt
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第四章可测函数,1可测函数及其性质,2叶果洛夫定理,3可测函数的构造,4依测度收敛,要点:
可测函数是利用勒贝格可测集来刻画的,勒贝格可测函数是勒贝格积分的基本对象。
记号:
一个定义在上的实函数确定了E的一组子集这里取遍一切有限实数,反之,本身也由E的这组子集而完全确定。
类似地,有,1可测函数及其性质,(4)都可测。
(3)都可测。
(2)都可测。
设是定义在可测集E上的实函数,对于任何有限实数,1、可测函数定义,设是定义在可测集的实函数,如果对于任何有限实数,都是可测集,则称为定义在E上的可测函数。
不是一个函数值,而是一个集合,在E上可测,
(1)都可测。
可测函数等价定义,推论:
设在E上可测,则总可测,不论是有限实数或,即:
可测集E上的常值函数是可测函数。
例题2:
勒贝格零测集上所定义的函数必是可测函数。
问题:
连续函数是可测函数吗?
2、点集上的连续函数定义,定义在上的实函数,如果有限,而且对于的任一邻域V,存在的某邻域U,使得,即只要且时,便有,则在连续。
如果在E中每一点都连续,则称在E上连续。
例题1:
区间a,b上的连续函数与单调函数都是是可测函数。
注:
这个定义并不要求E是可测集;当E是某个区间时,它与数学分析中连续的概念相一致。
定理2:
可测集上的连续函数是可测函数。
定理3:
(1)设是可测集E上的可测函数,而为E的可测子集,则看作定义在上的函数时,它是上的可测函数;,
(2)设定义在有限个可测集的并集上,且在每个上都可测,则在E上也可测。
3、可测函数基本性质,注:
并不是可测集的所有子集都是可测的。
引理:
设与为E上的可测函数,则与都是可测集。
定理4:
设与为在E上可测,则函数集中在零测集上)可测集。
定理5:
设是E上一列(或有限个)可测函数,则与都在E上可测。
定理6:
设是E上一列可测函数,则也在E上可测,特别当存在时,它也在可测。
可测函数列的极限,4、简单函数及其性质,
(1)定义:
设的定义域E可分为有限个互不相交的可测集即,使在每个上都等于某常数,则称为简单函数。
例如:
在区间0,1上的狄利克雷函数是可测的非连续函数。
结论:
任何简单函数都是可测的。
定理7:
设在E上可测,则总可以表示成一列简单函数的极限函数,而且还可办到,
(2)简单函数与可测函数的关系,(3)可得可测函数等价定义,函数在E上可测的充要条件是总可以表示成一列简单函数的极限函数,其中,5、几乎处处成立,注:
1简单函数仅取有限个实数值,且每个值是在一个可测子集上取的。
2简单函数列的极限函数不一定是简单函数,甚至某些点处极限函数可能为,然而简单函数一定是可测函数。
设是一个与集合E的点有关的命题,如果存在E的子集M,适合,使得在EM上恒成立,即EE成立=零测度集,则我们称在E上几乎处处成立,或说a.e.于E成立。
即:
如果一个命题S在集E上除了某个零测度子集外处处成立,是命题不成立的点总包含在某个零测集当中,则说命题S在E上几乎处处成立。
例题3
(1)与在E上几乎处处相等,指:
(2)在E上几乎处处有限,指:
(3)著名的勒贝格微分定理:
若是a,b上的单调函数,则在a,b上几乎处处可导。
(4)0,1上的狄利克雷函数a.e.于0,1,性质:
(1)a.e.于E且a.e.于E,则或a.e.于E,且a.e.于E.,
(2)f和g是定义在可测集E上几乎处处相等的函数,如果f是E的可测函数,则g也是E上的可测函数。
设是定义于E上的函数列,2叶果洛夫定理,1、收敛、几乎处处收敛、一致收敛,收敛:
若存在E上的函数,对于,则称函数列在E上收敛,为的极限函数。
几乎处处收敛:
若存在,在上收敛于,则称在E上几乎处处收敛于,记为,一致收敛:
若对于,存在自然数N,对及都有,则称函数列在E上一致收敛于。
2、几乎一致收敛(叶果洛夫定理),设,是E上可测函数列,是E上几乎处处有限的函数,在E上几乎处处收敛于,则对任意,存在子集,使在上一致收敛,且则称在E上几乎一致收敛于,记为,注:
1”一致收敛”强于“收敛”,“收敛”强于“几乎处处收敛”,2叶果洛夫定理得逆命题就是若,则,3叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系,根据这个定理,对于任意几乎处处收敛的可测函数列,都可在E的一个子集上当作一致收敛的函数列来处理。
3可测函数的构造,鲁金定理,设是E上几乎处处有限的可测函数,则对任意,存在闭子集,使在上是连续函数,且简言之,在E上a.e.有限的可测函数是“基本上连续”的函数。
注:
(1)可测集上的连续函数一定是可测函数,反之,一般的可测函数可以说是基本上连续的函数,该定理揭示了可测函数与连续函数的关系。
(2)若在E上可测,在E上除去一个测度小于的子集后,函数连续,这样就将可测函数问题转化为连续函数问题。
4依测度收敛,1、依测度收敛,设是上的一列a.e.有限的可测函数,若有E上a.e.有限的可测函数,满足下列关系:
对任意有,则称函数列依测度收敛于,记为,文字描述:
如果事先给定一个误差,不论这个有多么小,使得的点虽然可能很多,但这些点的全体的测度随着无限增大而趋向于0。
2、勒贝格收敛定理,
(1)设E可测,,
(2)是E上a.e.有限的可测函数列;,(3)是E上a.e.收敛于,且a.e.于E;,则,定理说明:
依测度收敛弱于几乎处处收敛。
3、黎斯定理,设在E上测度收敛于,则存在子列在E上几乎处处收敛于,4、测度收敛的唯一性,
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