人教版初中数学第九章不等式与不等式组知识点.docx
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第九章不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集
1.不等式:
用符号“>”“<”表示大小关系的式子,叫做不等式。
2.不等式的解集:
对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。
3.解不等式:
求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
例1.用不等式表示“7与m的4倍的和是正数“就是.
【答案】.
例2.“x与y的和大于1”用不等式表示为.
【答案】x+y>1
例3.用不等式表示x与5的差不小于4:
.
【答案】.
例4.把不等式≥在数轴上表示出来,正确的是()
-101
-101
-101
A
-101
B
C
DD
【答案】C
9.1.2不等式的基本性质
1.不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
2.不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
3.不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
例1.如果a>b,那么下列结论一定正确的是()
A.a﹣3<b﹣3B.3﹣a<3﹣bC.ac2>bc2D.a2>b2
解:
∵a>b,∴﹣a<﹣b,∴3﹣a<3﹣b;
例2.如果a<b,那么下列不等式成立的是()
A.-3a>-3bB.a-3>b-3C.D.a-b>0
解:
根据不等式的基本性质1可得,选项B、D错误;根据不等式的基本性质12可得,选项C错误;根据不等式的基本性质3可得,选项A正确.故答案选A.
例3.下列不等式变形正确的是()
A.由a>b得ac>bcB.由a>b得﹣2a>﹣2b
C.由a>b得﹣a<﹣bD.由a>b得a﹣2<b﹣2
【答案】C
【解析】
解:
A:
因为c的正负不确定,所以由a>b得ac>bc不正确,据此判断即可.
B:
不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,据此判断即可.
C:
不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,据此判断即可.
D:
不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变,据此判断即可.
9.2一元一次不等式
1.一元一次不等式的概念:
一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。
2.解一元一次不等式的一般步骤:
(1)去分母
(2)去括号(3)移项
(4)合并同类项(5)将x项的系数化为1
例1.解不等式,并把解集在数轴上表示出来.
解:
去分母,得2x﹣4<x﹣1
移项,合并同类项,得x<3.
在数轴上表示解集为:
例2.解不等式,并求它的非负整数解.
解:
2x-2<x+1
2x-x<1+2
x<3
不等式的非负整数解为0,1,2.
例3.解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来.
解:
去分母,得:
去括号,得:
移项,合并同类项得:
系数化成1得:
x≤1.
解集在数轴上表示出来为:
例4.解列不等式≥
解:
去分母得:
14x-7(3x-8)+14≥4(10-x)
去括号,得:
14x-21x+56+14≥40-4x
移项,得:
14x-21x+4x≥40-56-14
合并同类项,得:
-3x≥-30
解得:
x≤10.
9.3一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的概念:
几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集
(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。
例1.解不等式组:
,并在数轴上表示出不等式组的解集.
解:
,
由①解得x<4,
由②解得x≥3,所以不等式组的解集为.
例2.解不等式组:
解:
解不等式1得,x>-1;解不等式2得,,所以不等式组的解集是x>-1.
例3.
(1)解不等式:
2(x+1)﹣1≥3x+2,并把解集表示在数轴上.
(2)解不等式组,并写出不等式组的整数解.
解:
(1)2(x+1)﹣1≥3x+2,
2x+2-1≥3x+2,
2x-3x≥2-2+1,
-x≥1
x≤-1,
(2)解得x≥-4
解得x<
∴-4≤x<,
整数解为-4,-3,-2,-1,0,1,2
4
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