人教课标版高中数学必修一《方程的根与函数的零点第2课时》教案新版Word格式.docx
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【思路点拨】函数零点转化为方程的根.
【答案】-1,6.
(2)函数y=x2-5x-6在(0,2)上零点个数是()
A.1B.2C.0D.不确定
【解题过程】令y=x2-5x-6=0解得
故在(0,2)上无零点.
【思路点拨】由
(1)可得方程两根,但要考虑跟根所在区间.
【答案】C.
(3)函数y=-x3-3x+5的的零点所在区间为()
A.(0,1)B.(-1,0)C.(1,2)D.(2,3)
【数学思想】数形结合思想
【解题过程】令y=-x3-3x+5=0即x3=-3x+5,由图像可得其交点在(1,2)之间.
【思路点拨】分解为y=x3与y=-3x+5图像的交点所在区间.
【答案】C
(二)课堂设计
知识回顾
1.一元二次方程根的判断:
△>
0时有两个实根,△=0时有一个实根,△<
0时无实根.
2.函数零点定义:
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
3.函数零点与方程根的关系:
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点
函数y=f(x)有零点.
2.问题探究
探究一从具体函数中归纳零点定理★▲
●活动①从实际问题初步体会零点存在定理.
新疆位于我国最北部,它的昼夜温差比较大.若已知新疆某地白天最高气温是零上
,
夜晚时最低气温零下
.请问这一天是否有某个时刻的温度为
?
试用已知画出本地这天温度的大致变化趋势.
【设计意图】从实际问题出发,学生很容易理解。
通过这个活动,让学生初步体会了零点存在定理.
●活动②将实际问题抽象为数学问题,体会零点存在定理.
由活动①中的问题,试探究(小组讨论):
如何画函数图像能使得其必穿过x轴?
反之,若函数图像穿过x轴即与x轴有交点,函数值有什么特点?
【设计意图】将实际问题转化为数学问题,同时从画函数图像入手研究零点存在定理,更容易被学生接受和理解.
●活动③从二次函数中探索零点存在定理
观察函数y=x2-2x-3的图像,回答下列问题:
(1)函数在R上的零点有几个?
如何判断?
(2)函数在[-2,1]上的零点有几个?
如何求得?
(3)函数零点左边、右边的函数符号有什么特点?
【设计意图】通过求一元二次函数在R和某个区间上零点的比较,体会零点存在定理的必要性.观察零点左、右两侧函数值符号特点初步猜想零点存在与其左右函数符号有关系.
●活动④观察其他函数图形,归纳零点存在定理.
观察下面函数图像,回答问题:
①函数有哪几个零点?
在区间[-2,0]上呢?
在[0,2]上呢?
在[2,4]上呢?
②零点x=-1左右函数符号有什么特点?
零点x=1呢?
x=3呢?
③你能说出若该函数在[-2,0]上有零点应满足什么条件吗?
在区间[0,2]上呢?
④若函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点,应满足什么条件?
一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上有f(a)
f(b)<
0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c
(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
【设计意图】在学生熟悉的二次函数基础上,观察非二次函数零点存在的特点,在此基础上归纳得出函数零点存在的条件即零点存在定理。
但因为学生没有函数图像连续的概念故在此没列出该条件,这个将在下一活动中理解补充.
探究二零点存在定理的理解.★▲
●活动①举出反例,理解、补充图像连续的条件.
观察函数图像,试回答下列问题:
1.比较:
f(-1)_____0(填“<
”或“>
”或“=”),f
(1)_____0(填“<
”或“=”);
2.函数y=f(x)在区间[-1,1]
上有零点吗?
3.结合本例,补充函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点的条件.
零点定理:
一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)
0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c
【设计意图】通过举反例,让学生发现原结论不完整,有错误之处,从而进行完善和补充.这样学生也能理解函数图像连续的意义和作用.
●活动②理解定理,定理只是函数存在零点的一个充分条件.
下组讨论:
你能画出函数图像说明下列问题吗?
(1)若f(a)
f(b)>
0则函数y=f(x)在区间[a,b]上一定没有零点吗?
;
(2)若f(a)
0则函数y=f(x)在区间[a,b]上只有一个零点吗?
(3)当f(a)
0时,增加什么条件可确定函数y=f(x)在区间[a,b]上只有一个零点?
【设计意图】通过学生小组探究,画函数图像理解定理.理解定理中有一个零点的意义,即至少有一个的意思,同时探究什么时候只有一个.理解定理只是函数存在零点的一个充分条件.
探究三零点定理的应用.
●活动①巩固基础,检查反馈.
例1.已知函数f(x)的图像试练习不断的,有如下的x,f(x)对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.136
15.552
-3.92
10.88
-52.488
-232.064
函数f(x)含有零点的区间是__________.
【知识点】函数的零点.
【解题过程】由零点定理可得.
【思路点拨】根据零点左右两侧符号正负区别找出满足的区间.
【答案】
(2,3),(3,4),(4,5).
【设计意图】用零点定理确定零点所在区间.
同类训练二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表:
-3
-2
-1
m
-4
-6
n
不求a、b、c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是()
A.(-3,-1),(2,4)
B.(-3,-1),(-1,1)
C.(-1,1),(1,2)
D.
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【数学思想】
【解题过程】零点定理可得.
【思路点拨】根据零点左右两侧函数值异号找出零点存在区间.
【答案】A
【设计意图】用零点定理判断零点所在区间.
例2求函数y=lnx+2x-6的零点个数.
【知识点】函数零点的判定.
【数学思想】数形结合思想.
【解题过程】由
,f
(1)<
0,f
(2)<
0,f(3)>
0,故f
(2)
f(3)<
0,所以f(x)在(2,3)上有零点,又y=f(x)在区间
上单调递增,所以它仅有一个零点.
【思路点拨】用零点定理判断.
【答案】一个.利用零点定理判断根所在区间,同时结合函数图像说明当函数单调时可以确定只有一个根.
同类训练方程0.9x-x=0的实数解的个数是()
A.0B.1C.2D.3
【知识点】元素与集合关系的判断.
【解题过程】令f(x)=0.9x-x,f(0)=1,f
(1)=-0.1,且函数单调递减.
【答案】B
【设计意图】利用零点定理判断根所在区间,同时结合函数图像说明当函数单调时可以确定只有一个根.
●活动②强化提升、灵活应用
例3方程x2-2ax+4=0的两个根均大于1,求实数a的取值范围.
【知识点】根的存在性及根的个数判断.
【数学思想】数形结合、函数与方程的思想.
【解题过程】设方程的两个根1<
x1<
x2,那么由二次函数图像知:
所以
解得,
.
【思路点拨】用零点定理去找在指定区间上根的条件.
【设计意图】巩固零点定理,用零点定理解决二次方程根的分布问题.
同类训练关于x的方程x2-2x+a=0的一个根在区间(-1,1),另一个根在区间(2,3)内,求实数a的取值范围.
【数学思想】数形结合、函数与方程思想.
【解题过程】由二次函数图像特点和零点定理可得,
解得,-3<
a<
0.
【思路点拨】用零点定理解决.
【设计意图】巩固零点定理,用零点定理解决二次方程根的分布问题.
3.课堂总结
知识梳理
一般地,若函数y=f(x)在区间
上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)
(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
重难点归纳
(1)零点定理:
上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)
(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
(2)用零点定理判断方程根所在区间,特别是解决一元二次方程根的分布问题.
(三)课后作业
基础型自主突破
1.函数f(x)=
-8+2x的零点一定位于区间()
A.(5,6)B.(3,4)C.(2,3)D.(1,2)
【知识点】函数零点的判断.
【解题过程】f(3)<
0,f(4)>
0故选B.
【思路点拨】用零点定理.
2.函数f(x)=ax2+bx+c,若f
(1)>
0,f
(2)<
0,则f(x)在(1,2)上零点个数为()
A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D.一个也没有
【解题过程】用零点定理结合二次函数图像可判断出
在(1,2)上有且只有一个零点.
【思路点拨】零点定理.
3.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在
内的零点有1006个,则f(x)的零点个数为()
A.1006B.1007C.2012D.2013
【解题过程】由奇函数图像关于原点对称.
【思路点拨】奇函数图像特点.
【答案】D
4.若函数f(x)=3x2-5x+a的两个零点分别是x1,x2,且有-2<
x1<
0,1<
x2<
3,则实数a的取值范围是__________.
【解题过程】
解得-12<
【答案】-12<
0.
5.对于方程x3+x2-2x-1=0有下列判断:
①在(-2,-1)内有实根;
②在(-1,0)内有实根;
③在(1,2)内有实根;
④在R上没有实根.其中正确的是________.
【解题过程】将方程有实根转化为函数y=x3+x2-2x-1有零点,再逐一判断.
【答案】①②③.
6.若函数y=f(x)在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线,且方程f(x)=0在(0,4)内仅有一个实数解,则f(0)·
f(4)的值()
A.大于0B.小于0C.等于0D.无法判断
【数学思想】数形结合、方程与函数思想.
【解题过程】满足题中要求的函数y=f(x)图像可以有以下两种情况:
可知f(0).f(4)<
0,由于y=f(x)定义在区间[0,4]上,即有
或
,故选D.
【思路点拨】正确理解零点定理.
能力型师生共研
7.对于函数f(x)=x2+c,若f(a)>
0,f(b)>
0,则函数f(x)在区间(a,b)内()
A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点
【思路点拨】零点定理和二次函数图像结合.
8.已知函数
仅有一个零点,求实数m的取值范围,并求出零点.
【数学思想】函数与方程、数形结合、分类讨论思想.
【解题过程】令2x=t(t>
0),则t2+mt+1=0有一个正根.①当
即m2-4=0,解得m=
.则t=1或-1(舍去)解得x=0,所以m=-2.②当
即m>
2或m<
-2时,方程有一个正根,一个负根,则t1
t2<
0,而t1
t2=1>
0,故此情况不成立.综上所述,m=-2.
【思路点拨】方程根个数的判断,复合函数拆分,换元,将范围转换.
【答案】m=-2,0.
探究型多维突破
9.已知函数f(x)=ax2+
,讨论关于x的方程f(x)=x3的解的个数.
【数学思想】函数与方程、分类讨论思想.
=x3-ax2=x2(x-a)
0可得
,所以x-a=x2(x-a)即(x-1)(x+1)(x-a)=0.
【思路点拨】绝对值的非负性
①当
时,方程有2个解;
②当a
时,方程有1个解;
③当a<
-1时,方程有3个解.
【答案】①当
10.已知函数
若关于x的方程f(x)=0在区间(0,2)内有且仅有一个解,求实数m的取值范围.
【数学思想】分类讨论思想.
(1)当
(2)当
(3)当
(4)当
综上所述,
【思路点拨】“有且仅有一个根”的理解.当有一个根在端点另一个根在区间需单独考虑.
自助餐
1.已知若函数f(x)的图像是连续不断的,且有如下对应值表:
10
20
-5.5
18
则函数零点所在区间是__________.
【解题过程】由零点定理即可.
(1,2),(3,4),(6,10).
2.方程
-8+2x=0的根一定位于()
【思路点拨】用零点定理确定零点所在区间.
3.函数f(x)=xcos2x在区间[0,2
]上的零点个数为()
A.2B.3C.4D.5
【解题过程】函数零点为x=0或cos2x=0,即2x=
故有5个零点.
【思路点拨】三角函数周期性及角的范围.
【答案】D.
4.若函数f(x)=x2+(m-2)
-5-m有两个小于2的零点,则m的取值范围是()
A.
B.
C.
D.(2,5)
【知识点】方程根的存在及个数的判断.
【解题过程】由零点定理可得,
解得m>
5.
【思路点拨】用零点定理和二次函数图像.
【答案】m>
5.若函数f(x)=
区间(2,3)上有零点,则k=________.
【解题过程】因为函数f(x)=
区间(2,3)上单调递增,又函数在(2,3)上有零点,所以f
(2)<
0,解得3<
k<
又因为
,所以k=4.
【思路点拨】零点定理判断根的个数时要结合函数的单调性.
【答案】4
6.已知函数
函数g(x)=f(x)-2x恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是()
B.(-3,-1)C.
D.
【知识点】根的存在及根的个数判断.
【数学思想】函数与方程、数形结合思想.
【解题过程】方程g(x)=f(x)-2x恰有3个不同的零点即函数
图像与x轴有3个不同的交点.由函数图像可知,
【思路点拨】根据函数图像判断零点个数.
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