中考分段函数选讲.doc

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中考分段函数选讲

1、在水果产地批发水果，100kg为批发起点，每100kg40元；100至1000kg8折优惠；1000kg至5000kg，超过1000部分7折优惠；5000kg至10000kg，超过5000kg的部分6折优惠；超过10000kg，超过部分5折优惠。

（1）请写出销售y与销售量x之间的函数关系；

（2）某人用2265元能批发多少这种水果？

　　解：

（1）根据题意可得：

①当100＜x≤1000时，y=0.8×0.4x；

　　②当1000＜x≤5000时，y=0.8×0.4×1000+0.7×0.4（x-1000）；

　　③当5000＜x≤10000时y=0.8×0.4×1000+0.7×0.4（5000-1000）+0.6×0.4（x-5000）；

　　④当x＞10000时y=0.8×0.4×1000+0.7×0.4（5000-1000）+0.6×0.4（10000-5000）+0.5×0.4（x-10000）

综上并化简得分段函数：

y=

（2）因为在第二段中y的最大值为0.28×5000+40=1800（元），在第三段中y的最大值为0.24×10000+240=2640（元），所以2265元在第三段中，由0.24x+240=2265，得x=7500（kg）

2、心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：

（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？

（2）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

解：

（1）当x=5时，代入y=－t2+24t+100中，得y=195；当x=25时，代入y=－7t+24t+100中，得y=205．∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中．

（2）当0＜t≤10时，令y=－t2+24t+100=180，得t=4；当10＜t≤20时，y=240；当20＜t≤40时，y=－7t+380=180，得t=28.57．

所以学生注意力在180以上的持续时间为28.57-4=24.57（分钟）．

∴老师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．

评注：

本题是一个分段函数应用题，涉及常数函数和一次函数等知识点的考查．命题者巧妙地创设了一个和学生息息相关的话题为背景，丰富了学生的心灵，体现了新课程的精神，有利于培养学生用数学的眼光对生活中的现象进行观察、感悟和概括，使他们感受到数学的作用．

3荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城．若“五一”黄金周有甲，乙两个旅行团到该景点参观，两团人数之和为120人，乙团不超过50人，设两团分别购票共付W元，甲团人数人，①求W与的函数关系式；②若甲团人数不超过100人，请说明两团合起来购票比分开购票最多可节约多少元？

分析：

本题应先根据题意确定自变量的取值范围，再由自变量取值范围及分段函数图象，确定应如何分段，求出函数表达式．

解：

（1）∵乙团不超过50人∴0＜120-x≤50解得70≤x＜120，根据图象信息得，

当70≤x≤100时，W=6x+8（120-x）即，W=-2x+960（70≤x≤100）

当100＜x＜120时，W=4x+8（120-x）即，W=-4x+960（100＜x＜120）

6

人数（人）

100

50

0

8

门票价格（元）

4

（2）∵甲团人数不超过100人，∴70≤x≤100

即W与x函数关系式为W=-2x+960（70≤x≤100）

根据一次函数性质得，

当x=70时，W最大值=-2×70+960=820（元）

两团合起来购票应付款4×120=480（元）

所以两团合起来购票比分开购票最多可节约：

820-480=340（元）

评注:

本题是一道分段函数图象信息题，解答时必须先从函数图象中获得正确认知，根据图象信息获知W与x的函数关系式，考查对生活中的数学问题进行判断、选择、寻求最优的方法．

4、参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表.某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费是___________．

住院医疗费（元）

报销率（%）

不超过500元的部分

0

超过500～1000元的部分

60

超过1000～3000元的部分

80

……

分析：

解答本题要弄清分段报销和超过部分涵义，可通过建立分段函数求解．

解：

设住院医疗费为x（元），保险公司报销金额为y（元），根据表格有函数关系式：

y1=0（x≤500）；y2=（x-500）×60%=0.6x-300（500≤x≤1000），并且0≤y2≤300；

y3=（x-1000）×80%+500×60%=0.8x-500（1000≤x≤3000）并且300≤y3≤1900…．

因y=1000（元），故应代入函数y3=0.8x-500中求解，所以当y=1000时，得x=1875．

即此人住院的医疗费是1875元．

评注：

本题也可以通过列一次方程来解答，但都不如建立分段函数关系解答直观易懂．

例3、某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图（3）中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图（4）中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．

（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；

（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？

最大利润是多少万元？

解析：

（1）由图3可得，当0≤t≤30时，市场日销售量y与上市时间t的关系是正比例函数，

所以设市场的日销售量：

y=kt，∵点（30，60）在图象上，∴60=30k．∴k=2．即y=2t，

当30≤t≤40时，市场日销售量y与上市时间t的关系是一次函数关系，所以设市场的日销售量：

y=k1t+b，因为点（30，60）和（40，0）在图象上，所以，解得k1=－6，b=240．∴y=－6t+240．综上可知，当0≤t≤30时，市场的日销售量：

y=2t，

当30≤t≤40时，市场的日销售量：

y=-6t+240。

（2）由图4可得，当0≤t≤20时，市场销售利润w与上市时间t的关系是正比例函数，

所以设市场的日销售量：

w=kt，∵点（20，60）在图象上，∴60=20k．∴k=3．即w=3t，

当20≤t≤40时，市场销售利润w与上市时间t的关系是常数函数，所以，w=60，∴当0≤t≤20时，产品的日销售利润：

m=3t×2t=6t2；∵k=6＞0，所以，m随t的增大而增大，∴当t=20时，产品的日销售利润m最大值为：

2400万元。

当20≤t≤30时，产品的日销售利润：

m=60×2t=120t，∵k=120＞0，所以，m随t的增大而增大，∴当t=30时，产品的日销售利润m最大值为：

3600万元；当30≤t≤40时，产品的日销售利润：

m＝60×（-6t+240）=-360t+14400；∵k=-360＜0，所以，m随t的增大而减小，∴当t＝30时，产品的日销售利润mm最大值为：

3600万元，综上可知，当t＝30天时，这家公司市场的日销售利润最大为3600万元．

评析：

本题不仅考查同学们对分段函数意义的理解，而且同时还考查了同学们对分类思想的掌握情况，和对一次函数性质的理解和应用。

5、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示．

（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？

（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？

解：

（1）从图象上可知道，小强父母给小强的每月基本生活费为150元；

当0≤x≤20时，y（元）是x（小时）的一次函数，不妨设y=k1x+150，

同时，图象过点（20，200），所以，200=k1×20+150，解得：

k1=2.5，所以，y=2.5x+150，当20＜x时，y（元）是x（小时）的一次函数，不妨设y=k2x+b，同时，图象过点（20，200），（30，240），

所以，，解得：

k2=4，b=120，所以，y=4x+120，所以，如果小强每月家务劳动时间不超过20小时，每小时获奖励2.5元；如果小强每月家务劳动时间超过20小时，那么20小时按每小时2.5元奖励，超过部分按每小时4元奖励

（2）从图象上可知道，小强工作20小时最多收入为200元，而5月份得到的费用为250元，大于200元，所以说明4月小强的工作时间一定超过20小时，所以应选择分段函数中当20＜x时的一段，所以，由题意得，，解得：

x=32.5

答：

当小强4月份家务劳动32.5小时，5月份得到的费用为250元．

评析：

本题不仅考查同学们对分段函数意义的理解，而且同时还考查了同学们对分类思想的掌握情况，和对分段函数的选择能力。

6、有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．

（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元；

（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？

如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？

解析：

1）从图6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数，当0≤t≤100时，话费金额y=20；当t＞100时，话费金额y是通话时间t的一次函数，不妨设y=kt+b，

且函数经过点（100，20）和（200，40），所以，,解得：

k=0.2，b=0,所以，y=0.2t,所以,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为0.2元；

2）仔细观察表1,可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+2.5,当0≤t≤100时，甲公司的话费金额y=20；乙公司通话收费y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,所以,李女士如果月通话时间不超过100分钟，她选择乙通迅公司更合算；因为，0.15t+2.5=0.2t，所以，t=500，所以，当通话时间t=500分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以；因为，0.15t+2.5＞0.2t，所以，t＜500，所以，当通话时间100＜t＜500分钟时，选择甲公司；因为，0.15t+2.5＜0.2t，所以，t＞500，所以，当通话时间t＞500分钟时，选择乙公司；

7、一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从五月一日起的50天内，它的市场售价y1与上市时间x的关系可用图1的一条线段表示：

　　它的种植成本y2与上市时间x的关系，可用图2中抛物线的一部分来表示。

（1）求出图1中表示的市场售价y1与上市时间x的函数关系式。

（2）求出图2中表示的种植成本y2与上市时间x的函数关系式。

（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？

（市场售价和