专题:分式运算中的常用技巧.doc
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专题:分式运算中的常用技巧.doc
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初中数学
专题:
分式运算中的常用技巧
编稿老师
徐文涛
一校
杨雪
二校
黄楠
审核
刘敏
一、考点突破
知识点
考纲要求
命题角度
备注
分式的性质
掌握
利用分式的基本性质进行约分和通分
分式的运算
综合运用
1.利用设k的方法进行分式化简与计算
2.利用公式进行分式化简与计算
3.利用整体通分的思想对分式进行化简与计算
常考
二、重难点提示
重点:
1.掌握设参数法进行分式运算;
2.利用公式变形进行分式运算;
3.掌握整体通分的思想方法。
难点:
会选用恰当的方法解决与分式有关的问题。
微课程1:
设k求值
【考点精讲】
运用已知条件,求代数式的值是数学学习的重要内容之一。
除了常规代入求值法,还要根据题目的特点,灵活运用恰当的方法和技巧,才能达到预期的目的。
如果代数式字母较多,式子较繁,为了使求值简便,有时可增设一些参数,以便沟通数量关系,设k求值,也叫做设参数法。
通常是用含有字母的代数式来表示变量,这个代数式叫作参数式,其中的字母叫做参数。
参数法,是许多解题技巧的源泉。
【典例精析】
例题1已知,求的值。
思路导航:
首先设,则可得a=3k,b=4k,c=5k,然后将其代入,即可求得答案。
答案:
解:
设(k≠0),则a=3k,b=4k,c=5k,
所以===
点评:
本题考查了运用设k值的方法求分式的值,用“设k法”表示出a、b、c可以使运算更加简便。
例题2已知a,b,c均不为0,且,求的值。
思路导航:
仔细观察,只要a、b、c用同一个未知数表示,就可以约去分式中的未知数。
所以,设=k,用k来表示a、b、c,然后将其代入所求的分式即可。
答案:
解:
设=k,
则a+2b=5k,①
3b-c=3k,②
2c-a=7k,③
由①+③得,2b+2c=12k,
∴b+c=6k,④
由②+④,得4b=9k,
∴b=k,分别代入①、④得,
a=k,
c=k,
∴===
例题3已知,计算。
思路导航:
设=k,得b+c=ak,a+c=bk,a+b=ck;然后将三式相加即可求出k的值,代入即可求值。
答案:
解:
设=k,得b+c=ak,a+c=bk,a+b=ck;把这3个式子相加得2(a+b+c)=(a+b+c)k
若a+b+c=0,a+b=-c,则k=-1
若a+b+c≠0,则k=2
==
当k=-1时,原式=-1,
当k=2时,原式=8。
点评:
用含k的代数式表示出a,b,c的值是解决本题的突破点。
【总结提升】
设k求值解题的基本步骤
(1)设参数k,即选择适当的参数k(参数的个数可取一个或多个);
(2)建立含有参数的方程或代数式;
(3)消去参数,即通过运算消去参数,使问题得到解决。
例:
已知,求的值。
解:
设,于是有,所以=0。
微课程2:
活用公式变形
【考点精讲】
完全平方公式和平方差公式是数学中的两个重要的乘法公式,也是同学们解题时常出错的难点。
在进行运算时,若能根据公式的结构特征,选择适当的方法,灵活应用公式,可使问题化繁为简,收到事半功倍的效果,同时掌握其变形特点并灵活运用,可以巧妙地解决很多问题。
【典例精析】
例题1已知a2-5a+1=0,计算的值。
思路导航:
让等式两边同时除以a,得到=5,然后对进行公式变形即可。
答案:
解:
因为a≠0,将a2-5a+1=0两边都除以a整理得:
=5,
所以=-2==(52-2)2-2=527
点评:
本题既考查了对完全平方公式的变形,又考查了代数式求值的方法,同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力。
解答本题的关键是将看做一个整体代入。
例题2计算
思路导航:
将原式乘以代数式,同时再除以代数式,即可连续利用平方差公式。
答案:
解:
原式=
点评:
在本题中,原式乘以同一代数式,之后再除以同一代数式还原,就可连续使用平方差公式,分式运算中若恰当使用乘法公式,可使计算简便。
例题3已知,求的值。
思路导航:
本题将的分子、分母颠倒过来,即变为求=的值,再利用公式变形求值就简单多了。
答案:
解:
∵,∴,即,
∴==23+1=24。
∴=
点评:
利用x和互为倒数的关系,沟通已知条件与所求未知式的关系,可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗,使解题过程更加简捷。
【总结提升】
完全平方公式的常见变形:
(1)a2+b2=(a+b)2-2ab,
(2)a2+b2=(a-b)2+2ab,
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab,
(4)a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+ac+bc)
平方差公式的常见变形:
(1)位置变化:
(a+b)(-b+a)=-(b2-a2);
(2)符号变化:
(-a-b)(a-b)=-(a2-b2);
(3)系数变化:
(3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2;
(4)指数变化:
(a3+b2)(a3-b2)=a6-b4;
(5)项数变化:
(a+2b-c)(a-2b+c)=a2-(2b-c)2;
(6)连用变化:
(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4。
微课程3:
整体通分
【考点精讲】
分式的加减运算过程中,一般要按照运算法则同级运算从左到右计算。
异分母分式加减的运算法则是“异分母的分式相加减,先通分变为同分母的分式,然后再加减。
”但对于一些较为特殊的异分母分式加减运用此规则显得麻烦。
因而需根据题型,灵活运用其法则及有关知识进行解答。
在分式计算题中,如果出现了部分整式,我们可以把整式看成一个整体进行通分,从而最终达到解决整个问题的目的。
【典例精析】
例题1计算:
思路导航:
题目中既有分式又有整式,不相统一,我们可以寻求能作为整体的部分,那么计算起来可以简便一些。
对于本题可以将后面的部分看做一个整体进行通分。
答案:
解:
原式===-=。
点评:
本题是求一个分式与一个多项式的和,若把整个多项式看作分母为1的分式,再通分相加,可以使解法更简便。
例题2计算:
思路导航:
将后三项看做分母是1,变为,整理后,利用完全平方公式即可解答。
答案:
解:
原式=
=
=
=
点评:
本题考查分式的加减,在计算过程中要注意整体思想的运用,运用分式的通分必须注意整个分子和整个分母。
注意到与之间的关系,利用换元法,可以将问题转化为我们熟悉的形式。
【总结提升】
若题目为整式和分式相加减运算,可把整式看做一个整体进行通分计算。
解此类题可运用整体思想,把整式看做分母是“1”的一个整体参与计算,可达到简化目的,使计算简便。
例如:
计算分式时,可将a+2看做一个整体,将其分母看做“1”进行通分,可使运算过程大大简化。
(答题时间:
60分钟)
设k求值
一、选择题
1.已知x:
2=y:
3=z:
0.5,则的值是( )
A. B.7 C.3 D.
2.若实数a、b、c、d满足,则的值是()
A.1或0 B.-1或0 C.1或-2 D.1或-1
3.若x是一个不等于0的数,且x2-3x+1=0,则等于( )
A. B. C.10 D.12
二、填空题
4.若,则=___________。
5.若2a=3b=4c,且abc≠0,则的值是______________。
三、解答题
6.若,求的值。
7.已知满足,求的值。
8.已知,求的值。
活用公式变形
一、选择题
1.化简(−)•的结果是( )
A.-4 B.4 C.2a D.-2a
2.已知m+=3,那么m−的结果是( )
A. B. C. D.
3.设,则=()
A. B. C. D.
二、填空题
4.已知x2-4x+1=0,求的值___________。
5.已知:
(0<a<1),则=________。
三、解答题
6.先化简,后求值:
,其中。
7.计算:
已知,求的值。
整体通分
一、选择题
1.当a=3时,则a-2+的值为()
A.3 B.4 C.5 D.6
2.已知,则的值是( )
A.-3 B. C.3 D.
3.计算的结果为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
4.若a=,则=_________。
5.已知,则=_________。
三、解答题
6.计算:
(1);
(2)
7.计算:
8.先化简,再求值:
,其中x=3,y=-2。
设k求值
一、选择题
1.B解析:
设x:
2=y:
3=z:
0.5=a,则可以得出:
x=2a,y=3a,z=0.5a,代入中,得原式=7。
2.D解析:
设====k,则b2=ac,c2=bd,d2=ac=b2,a2=bd=c2,由=k得,a=bk,由=k得,d=ak=bk2,由=k得,c=dk=bk3,再由=k得,=k,即:
k4=1,k=±1。
当k=1时,原式=1;当k=-1时,原式=-1。
3.A解析:
解:
设,
则,
,
,
,
。
故选A。
二、填空题
4.5解析:
由题意,设x=3k,y=5k,z=7k,∴原式==5。
5.-2解析:
设2a=3b=4c=12k(k≠0),则a=6k,b=4k,c=3k,所以,原式=-2。
三、解答题
6.解:
设,则
原式=
7.解:
设,
则
8.解:
设,
则,①
,②
。
③
由①+②+③有,
所以,
故有或。
当时,。
当时,。
活用公式变形
一、选择题
1.A解析:
原式=-(a+2)+(a-2)=-4。
2.D解析:
∵(m-)2=(m+)2-4=9-4=5,∴m−=。
3.A解析:
解:
,
,
,
∴原式=
二、填空题
4.解析:
解:
,
,
则。
5.-2解析:
解:
,
且由,可得,
。
三、解答题
6.解:
,
,
,
,
,
当时,原式=。
7.解:
,
,
,
同理可得,,
∴原式=。
整体通分
一、选择题
1.C解析:
原式=a-2+=a-2+a+1=2a-1,当a=3时,原式=6-1=5。
2.A解析:
解:
,
,即,
∴原式=
3.A解析:
解:
原式=
=
二、填空题
4.解析:
原式==。
5.1解析:
解:
对已知等式整理得,
三、解答题
6.解:
(1)原式=
(2)原式=
7.解:
原式=
=-
=
8.解:
原式=
,
当x=3,y=-2时,原式=32-(-2)2=9-4=5。
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- 专题 分式 运算 中的 常用 技巧