二次函数专题存在性问题提高部分.doc
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二次函数专题——存在性问题(提高部分)第11页共11页
类型一:
线段长度
1.河南省2009年T23.(11分)23.(11分)如图,在平面直角坐
标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t值.
2.
(1)求证:
它的图象与x轴必有两个不同的交点;
(2)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),与y轴交于点C,且AB=4,⊙M过A、B、C三点,求扇形MAC的面积S。
(3)在
(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使△PBD(PD⊥x轴,垂足为D)被直线BC分成面积比为1:
2的两部分?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。
3.已知:
m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m 的图像经过点A(m,0),B(0,n),如图所示. (1)求这个抛物线的解析式; (2)设 (1)中的抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积; (3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH分成面积之比为2: 3的两部分,请求出P点的坐标. x C O y A B D 1 1 类型二: 面积问题 4.如图,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B. (1)求抛物线和直线AB的解析式; (2)求△CAB的铅垂高CD及S△CAB; (3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. 5.将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系 中,点O为坐标原点,点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(–3,0). (1)求该抛物线的解析式; (2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当△APE的面积最大时,求点P的坐标; (3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使△AGC的面积与 (2)中△APE的最大面积相等? 若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由. 6.如图①,在平面直角坐标系中,等腰直角△AOB的斜边OB在x轴上,顶点A的坐标为(3,3),AD 为斜边上的高.抛物线y=ax2+2x与直线y=x交于点O、C,点C的横坐标为6.点P在x轴的正半轴上,过点P作PE∥y轴,交射线OA于点E.设点P的横坐标为m,以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S. (1)求OA所在直线的解析式及a的值. (2)当m≠3时,求S与m的函数关系式. 图② A B C D E x P O y Q M N R 图① A B C D E x P O y (3)如图②,设直线PE交射线OC于点R,交抛物线于点Q.以RQ为一边,在RQ的右侧作矩形RQMN,其中RN=.直接写出矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围. 类型三: 等腰三角形 7.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴. (1)求抛物线的函数关系式; (2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标; (3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由. 备用图 8.如图 (1),在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,-2),点B的坐标为(3,-1),二次函数的图象为. (1)平移抛物线,使平移后的抛物线过点A,但不过点B,写出平移后的抛物线的一个解析式(任写一个即可). (2)平移抛物线,使平移后的抛物线过A、B两点,记抛物线为,如图 (2),求抛物线的函数解析式及顶点C的坐标. (3)设P为y轴上一点,且,求点P的坐标. (4)请在图 (2)上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q,使为等腰三角形.若存在,请判断点Q共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明理由. y o x 图 (1) y o x 图 (2) l1 l2 类型四: 直角三角形 9.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(1.0),C(0,-3). (1)求抛物线的解析式; (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标; (3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形? 若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 备用图 10.如图1,抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3).(图2、图3为解答备用图) (1)k=_____________,点A的坐标为_____________,点B的坐标为_____________; (2)设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M,求四边形ABMC的面积; (3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大? 若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由; y x B A O C 图3 y x B A O C 图2 (4)在抛物线y=x2-2x+k上求点Q,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形. y x B A O C 图1 11.如图所示,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2. (1)求抛物线对应的二次函数的解析式; (2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使∠APC=90°? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图所示,连接BC,M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点,过点M作直线l′∥l,交抛物线于点N,连接CN、BN,设点M的横坐标为t.当t为何值时,△BCN的面积最大? 最大面积为多少? 12.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(1,0),如图所示,抛物线y=ax2-ax-2经过点B. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形? 若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由. 类型五: 相似三角形 13.如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C. (1)求抛物线的解析式; (2)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标; (3)P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 14.已知: 在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-x+3(a≠0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,且对称轴为直线x=-2. (1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)若点P(0,t)是y轴上的一个动点,请进行如下探究: 探究一: 如图1,设△PAD的面积为S,令W=t·S,当0<t<4时,W是否有最大值? 如果有,求出W的最大值和此时t的值;如果没有,说明理由; y x O C B A D 图1 y x O C B A D 图2 探究二: 如图2,是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似? 如果存在,求点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 15.河南省2017年T23.(11分)如图,直线与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛 物线经过点A,B. (1)求点B的坐标和抛物线的解析式; (2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N. ①点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标; ②点M在x轴上自由运动,若三个点M,P,N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M,P,N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”的m的值. 16.河南省2016年T23.(11分)如图1,直线y=-x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4)抛物线y=x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2).点P为抛物线上的一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连接PB. (1)求抛物线的解析式. (2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长. (3)如图2,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD/P/,且∠PBP/=∠OAC,当点P的对应点P/落在坐标轴上时,请直接写出P点的坐标. O y x A B C 类型六: 线段和差与最值 17.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,3),与x轴分别交于B(1,0)、C(5,0)两点. (1)求此抛物线的解析式; (2)若点D为线段OA的一个三等分点,求直线DC的解析式; (3)若一个动点P自OA的中点M出发,先到达x轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标,并求出这个最短总路径的长. 18.河南省2015年T23.(11分)如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A、C间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F.点D、E的坐标分别为(0,6),(-4,0),连接PD,PE,DE. (1)请直接写出抛物线的解析式; (2)小明探究点P的位置发现: 当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进而猜想: 对于任意一点P,PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由; (3)小明进一步探究得出结论: 若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”. 请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE的周长最小时“好点”
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