中考数学专题复习资料--数与式.doc
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第一轮中考复习——数与式
知识梳理:
一.实数和代数式的有关概念
1.实数分类:
实数
2.数轴:
规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴上所有的点与全体实数是一一对应关系,即每个实数都可以用数轴上的一个点表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数。
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3.相反数:
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
0的相反数是0。
数轴上,表示互为相反数的两个点位于原点的两边(0除外),并且与原点的距离相等。
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4.倒数:
1除以一个数的商,叫做这个数的倒数。
一般地,实数a的倒数为。
0没有倒数。
两个互为倒数的数之积为1.反之,若两个数之积为1,则这两个数必互为倒数。
5.绝对值:
一个正实数的绝对值等于它本身,零的绝对值等于零,负实数的绝对值等于它的相反数。
=,绝对值的几何意义:
数轴上表示一个数到原点的距离。
6.实数大小的比较:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(1)正数大于零,零大于负数。
(2)两正数相比较绝对值大的数大,绝对值小的数小。
(3)两负数相比较绝对值大的数反而小,绝对值大小的数反而大。
(4)对于任意两个实数a和b,①a>b,②a=b,③a
7.代数式:
用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子,叫代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
8.整式:
单项式与多项式统称为整式。
单项式:
只含有数与字母乘积形式的代数式叫做单项式。
一个数或一个字母也是单项式。
单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。
一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
多项式:
几个单项式的代数和多项式。
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。
多项式里,次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。
一个多项式有n项且次数是m,我们就称这个多项式为m次n项式。
9.分式:
一般地,用A,B表示两个整式,若B中含有字母,且B≠0,则式子叫做分式。
10.有理式:
整式和分式统称为有理式。
11.无理式:
根号里含有字母的代数式叫做无理式。
12.=1(a≠0),=(a≠0,p是正整数)。
13.平方根:
若=a(a≥0),则x叫做a的平方根(或二次方根)。
一个整数有两个平方根,它们互为相反数,整数a的平方根记为+和—;0的平方根是0;负数没有平方根。
若=a(a≥0),则x=±。
14.算术平方根:
整数a的正的平方根+叫做a的算术平方根,+可简记为。
0的算术平方根仍为0.
15.立方根:
若=a,则x叫做a的立方根(或三次方根),记为,即x=。
正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数。
16.有理数的开方:
=a(a≥0),==
17.科学记数法:
把一个数写成a×(1≤<10,n是整数),叫做科学记数法。
18.有效数字:
从最左边的不是零的数字算起,到最后一位要保留的数字为止。
19.运算律:
(1)加法交换律:
a+b=b+a。
(2)加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)。
(3)乘法交换律:
a*b=b*a。
(4)乘法结合律:
(a*b)*c=a*(b*c)。
(5)乘法分配律:
(a+b)*c=a*c+b*c。
20.*=,÷=(a≠0),=,=*。
21.平方差公式:
(a+b)(a-b)=-
完全平方公式:
=+2ab+,=-2ab+
22.十字相乘法:
+bx+c=(x+m)(x+n)其中b=m+n,c=mn。
23.最简分式:
一个分式的分子与分母没有公因式时,这种分式叫做最简分式。
24.分式的加减法:
(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。
(2)异分母的分式相加减,先通分,变成同分母的分式,然后相加减。
25.分式的乘除法:
(1)分式乘分式,用分子的积作为分子,分母的积作为分母。
(2)分式除以分式,等于被除式乘除式的倒数。
26.二次根式:
形如(a≥0)的式子,叫做二次根式。
27.二次根式的性质:
(1)=a(a≥0);
(2)==
(3)=(a≥0,b≥0);(4)=(a≥0,b>0)。
28.最简二次根式:
满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式。
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式。
(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
29.同类二次根式:
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。
30.分母有理化:
把分母中的根号化去,叫做分母有理化。
注意:
分母有理化时,分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。
经典例题解析:
例1.在
A.1 B.2 C.3 D.4
例2.已知下列5个命题
(1)零是最小的实数
(2)数轴上所有的点都表示实数
(3)两个无理数的和仍然是无理数
(5)任何实数都有两个互为相反数的平方根
其中正确命题的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
例3.
例4.
例5.
的值为()
例6.
课堂练习:
一、选择题:
1.下列各组数中,相等的是_________
A.和1 B.和-1C.和-1 D.
2.设a,b为两实数,则下列命题中是假命题的是_________
A.若a+b=0,则|a|=|b|B.若|a|+|b|=0,则a=b=0
C.若a2+b2=0,则a=b=0D.若|a+b|=0,则a=b=0
3.一天的时间共86400秒,用科学记数法表示应为_________
A. B.C. D.
4.如果2(x+3)的值与3(1-x)的值互为相反数,那么x等于_________
A.9 B.2 C.3 D.4
5.已知,(其中x≠0,m、n为正整数),则的值等于______
A. B. C. D.
6.若a<0,代简的结果正确的是_________
A.0 B.2a C.-2a D.2a或-2a
7.化简的结果为:
A. B.-2 C. D.
8.如果表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简的结果等于__________
A.2a B.2b C.-2a D.-2b
9.已知的值等于_________
A.5或-5 B.1或-1 C.5或1 D.-5或-1
10.数轴上表示的点到原点的距离是_________
A. B. C.-2 D.2
11.已知二次三项式分解因式为,则b、c的值为________
A.B.
C. D.
12.已知a+b=3,ab=1,则的值是________
A.7 B.47 C.49 D.81
13.将分解因式,结果正确的是________
A.B.C.D.
14.已知xy<0,则化简后为_________
A. B. C. D.
二、填空题:
1.若实数m,n满足则m=_________,n=________
2.将207670保留三个有效数字,其近似值是_________
3.x平方的3倍与-5的差,用代数表示为___________
4.如果是一个完全平方式,则m=________
5.如果分式无意义,则x=______
6.如果分式的值为0,则x=___________
7.计算:
________
8.若代数式的值等于零,则x=________;
若代数式的值等于零,则x=________
9.已知,则分式的值为__________
10.已知_________
三、解答题:
1.计算:
2.已知的值。
3.若的值。
4.若
5.已知多项式能分解成两个一次因式的乘积,求k的值。
6.计算:
7.若x、y满足,则代数式:
的值是多少?
8.实数P在数轴上的位置如图所示:
化简。
9.计算:
。
10.当a=时,式子的值为整数(只需填一个符合题目要求的数)。
11.计算:
。
12.若x2=25,y3=(-5)3,求x+y的值。
课后作业:
例1.如果收入200元记作+200元,那么支出150元记作()
A.+150元 B.–150元 C.+50元 D.–50元
例2.点A在数轴上表示+2,从点A沿数轴向左平移3个单位到点B,则点B所表示的实数是()
A.3 B.–1 C.5 D.–1或3
例3.|-3|的相反数是()
A.–3 B.3 C. D.
例4.下列计算正确的是()
A. B.
C. D.
例5.将这三个实数按从小到大的顺序排列,正确的结果是()
A.
B.
C.
D.
例6.据2006年5月27日《沈阳日报》报道,“五·一”黄金周期间2006年沈阳“世园会”的游客接待量累计1760000人次,用科学记数法表示为()
A.人次 B.人次
C.人次 D.人次
例7.下列计算错误的为()
A. B.
C. D.
例8.有一个数值转换器,原理如下:
当输入的x为64时,输出的y是()
A.8 B. C. D.
例9.计算:
。
例10.先化简,再求值:
,其中。
【典型例题2】
例1.实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图所示,则它们从小到大的顺序是____________________。
例2.把下列各数填到相应的集合里:
整数集合:
{}
分数集合:
{}
有理数集合:
{}
无理数集合:
{}
例3.
例4.已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图:
例5.在张江高科技园区的上海超级计算机中心内,被称为“神威I”的计算机的运算速度为每秒384000000000次,这个速度用科学记数法表示为每秒_________次。
例6.计算:
例7.
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