二次函数与一元二次方程教学设计.doc

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2.5.1二次函数与一元二次方程教学设计

教学目标:

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系，理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根. 

2.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神，通过观察二次函数与x轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识.

3.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，具有初步的创新精神和实践能力.

教学重点：

理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标.

教学难点：

探索方程与函数之间的联系的过程；理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 

教法与学法指导：

在教学中，为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动.

教学准备：

多媒体课件

教学过程：

一、设问题情境，引入新课

【师】我们已学过一元一次方程和一次函数的关系，你还记得吗？

处理方式：

学生交流后回答.

【师】现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？

（学生可进行猜测）今天这节课我们就来探索他们之间的关系.（教师板书课题）

设计意图：

这一环节主要是激发学生的求知欲望，使学生通过解决问题，让学生有种成就感.同时也可使学生养成一个主动思考和善于思考的学习习惯.

二、活动探究

探究一：

二次函数与一元二次方程的内在联系

（多媒体展示）

我们已经知道，竖直上抛物体的高度与运动时间的关系可以近似地用公式表示，其中是抛出时的高度与运动时间的关系如图所示，那么

（1）与的关系是什么？

（2）小球经过多少秒后落地？

你有几种求解方法？

与同伴进行交流.

h

t

2

4

6

8

20

40

0

60

80

100

处理方式：

让学生以小组为单位进行讨论交流，教师可以读题，可重点强调：

和不是变量，你能确定它们吗？

然后选代表回答.

设计意图：

通过竖直上抛小球的问题情境，使学生初步感受二次函数与一元二次方程之间的联系，为下一步探讨二次函数的图像和横轴交点的个数与一元二次方程的个数之间的关系作铺垫.

探究二：

抛物线与轴的交点和一元二次方程的根的关系

（多媒体展示）

二次函数，，的图象如图所示.

（1）每个图象与轴有几个交点？

（2）一元二次方程，有几个实数根？

用判别式验证一下.一元二次方程有实数根吗？

（3）二次函数的图象与轴交点坐标和一元二次方程的根有什么关系？

处理方式：

学生以小组为单位进行观察图象讨论交流.教师巡回指导，参与到学生的讨论中，及时掌握学生的信息，及时点拨指正.然后各组选出一个代表来讲解自己的结论.

（教师利用多媒体展示学生得到的结论）

二次函数的图象与轴的交点有三种情况：

有两个交点、有一个交点、没有交点.

与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：

有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.

二次函数的图象与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根.

【师】一元二次方程的根的情况可以由来判断，二次函数的图象与轴的交点情况是不是也可以由来判断？

处理方式：

学生思考，交流所得结论，并讨论，以得到正确的判断方法.然后选代表回答.

（教师利用多媒体展示所得结论）

当时，有两个不相等的实数根，即二次函数的图象与轴有两个交点.

当时，有两个相等的实数根，即二次函数的图象与轴只有一个交点.

当时，没有实数根，即二次函数的图象与轴没有交点.

【师】如果将上面的条件和结论反过来，成立吗？

处理方式：

学生在小组中进行交流.

设计意图：

通过学生独立思考，自主探索二次函数的图象和轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系，鼓励学生归纳总结，培养学生语言表达能力.

探究三：

探究二次函数与一元二次方程的联系

（多媒体展示想一想）

在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是？

你是如何知道的？

处理方式：

学生在小组中讨论交流，教师可以对有疑问的小组进行适当点播，然后小组选代表进行回答.

说明：

在教学中，应鼓励学生借助图象和方程解决问题.

设计意图：

通过此问题的解决，让学生进一步沟通“数”与“形”的联系，从而进一步感受二次函数与一元二次方程的联系.

三、知识运用

（多媒体展示）

1.下列抛物线与轴只有一个公共点的是（）

..

..

点拨：

要想判断抛物线与轴交点的个数，只需判定方程的根的情况，即与0的大小关系.

2.已知二次函数的图象如图所示,则一元二次方程的解是

.

点拨：

一元二次方程的解就是二次函数的图象与轴交点的横坐标.

3.若抛物线的图象与轴有2个交点，则的取值范围是.

点拨：

抛物线与轴有2个交点，即，并且.

4.已知二次函数的图像与轴有两个不同的交点.

（1）求的取值范围

（2）当为何值时，这两个交点横坐标的平方和等于50.

点拨：

抛物线与轴有两个不同的交点，即；这两个交点横坐标的平方和即为.

设计意图：

让学生理解学习数学知识就是为了灵活运用知识解决问题，进一步拓展知识，提高思维能力

四、收获与感悟

【师】“悟”出真谛,悟在有“心”.通过今天的探究学习，你有哪些收获？

根据你的收获完成表格.（一元二次方程的实数根记为）

二次函数

与

一元二次方程

与轴有个交点

0，方程有的实数根是.

与轴有个交点

这个交点是点

0，方程有的实数根是.

与轴有个交点

0，方程实数根.

处理方式：

学生在小组中畅所欲言，完成表格.

设计意图：

鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励），培养学生的归纳概括能力和语言表达能力.

五、达标检测

（多媒体展示）

1.判断下列各抛物线是否与轴相交，如果相交，求出交点的坐标。

（1）；

（2）；（3）.

2.已知抛物线的顶点在轴上，则=；若抛物线与轴有两个交点，则的范围是.

3.已知抛物线与轴最多只有一个交点，则的范围是.

4.已知抛物线与轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则=，=.

5.已知抛物线,若抛物线与轴只有一个交点，求的值.

处理方式：

学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．

【设计意图:

通过达标检测及时反馈学生对本节课知识点的掌握程度,以便有的放矢进行后续教学.】

六、布置作业

1.基础题:

课本第1题,第2题,第4题.完成本课时的助学.

2.选做题:

课本第3题.

板书设计：

2.5.1二次函数与一元二次方程

探究一：

二次函数与一元二次方程的内在联系

探究二：

抛物线与轴的交点和一元二次方程的根的关系

探究三：

探究二次函数与一元二次方程的联系

典型例题：

学生板书区域