二次函数动点问题(提高篇).doc
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数学压轴题二次函数动点问题
1.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-3,0)、B两点,与y轴相交于点C(0,).当x=-4和x=2时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y相等,连结AC、BC.
(1)求实数a,b,c的值;
(2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时,连结MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)由题意得
解得a=-,b=-,c=.
(2)由
(1)知y=-x2-x+,令y=0,得-x2-x+=0.
解得x1=-3,x2=1.
∵A(-3,0),∴B(1,0).又∵C(0,),∴OA=3,OB=1,OC=,
∴AB=4,BC=2.∴tan∠ACO==,∴∠ACO=60°,∴∠CAO=30°.
同理,可求得∠CBO=60°,∠BCO=30°,∴∠ACB=90°.
∴△ABC是直角三角形.
又∵BM=BN=t,∴△BMN是等边三角形.
∴∠BNM=60°,∴∠PNM=60°,∴∠PNC=60°.
∴Rt△PNC∽Rt△ABC,∴=.
由题意知PN=BN=t,NC=BC-BN=2-t,∴=.
∴t=.∴OM=BM-OB=-1=.
如图1,过点P作PH⊥x轴于H,则PH=PM·sin60°=×=.
MH=PM·cos60°=×=.∴OH=OM+MH=+=1.
∴点P的坐标为(-1,).
(3)存在.
由
(2)知△ABC是直角三角形,若△BNQ与△ABC相似,则△BNQ也是直角三角形.
∵二次函数y=-x2-x+的图象的对称轴为x=-1.∴点P在对称轴上.
∵PN∥x轴,∴PN⊥对称轴.
又∵QN≥PN,PN=BN,∴QN≥BN.
∴△BNQ不存在以点Q为直角顶点的情形.
①如图2,过点N作QN⊥对称轴于Q,连结BQ,则△BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形,且QN>PN,∠MNQ=30°.
∴∠PNQ=30°,∴QN===.
∴==.∵=tan60°=,∴≠.
∴当△BNQ以点N为直角顶点时,△BNQ与△ABC不相似.
②如图3,延长NM交对称轴于点Q,连结BQ,则∠BMQ=120°.
∵∠AMP=60°,∠AMQ=∠BMN=60°,∴∠PMQ=120°.
∴∠BMQ=∠PMQ,又∵PM=BM,QM=QM.
∴△BMQ≌△PMQ,∴∠BQM=∠PQM=30°.∵∠BNM=60°,∴∠QBN=90°.
∵∠CAO=30°,∠ACB=90°.∴△BNQ∽△ABC.
∴当△BNQ以点B为直角顶点时,△BNQ∽△ABC.
设对称轴与x轴的交点为D.
∵∠DMQ=∠DMP=60°,DM=DM,∴Rt△DMQ≌Rt△DMP.
∴DQ=PD,∴点Q与点P关于x轴对称.∴点Q的坐标为(-1,-).
综合①②得,在抛物线的对称轴上存在点Q(-1,-),使得以B,N,Q为顶点的三角形与△ABC相似.
2.如图①,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?
若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
解:
(1)由题意得.解得.
∴所求抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;
(2)存在符合条件的点P,其坐标为P(-1,)或P(-1,)
或P(-1,6)或P(-1,);
(3)解法一:
过点E作EF⊥x轴于点F,设E(m,-m2-2m+3)(-3<a<0)
则EF=-m2-2m+3,BF=m+3,OF=-m.
∴S四边形BOCE=S△BEF+S梯形FOCE=BF·EF+(EF+OC)·OF
=(m+3)(-m2-2m+3)+(-m2-2m+6)(-m).
=-m2-m+=-(m+)2+
∴当m=-时,S四边形BOCE最大,且最大值为.
此时y=-(-)2-2×(-)+3=∴此时E点的坐标为(-,).
解法二:
过点E作EF⊥x轴于点F,设E(x,y)(-3<x<0)
则S四边形BOCE=S△BEF+S梯形FOCE=BF·EF+(EF+OC)·OF
=(3+x)·y+(3+y)(-x).=(y-x)=(-x2-3x+3).
=-(x+)2+
∴当x=-时,S四边形BOCE最大,且最大值为.
此时y=-(-)2-2×(-)+3=∴此时E点的坐标为(-,).
3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的负半轴上,线段OA、OC的长(OA<OC)是方程x2-5x+4=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=1.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求此抛物线的解析式;
(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合),过点D作DE∥BC交AC于点E,连结CD,设BD的长为m,△CDE的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围.S是否存在最大值?
若存在,求出最大值并求此时D点坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)∵OA、OC的长是方程x2-5x+4=0的两个根,OA<OC.
∴OA=1,OC=4.
∵点A在x轴的负半轴,点C在y轴的负半轴∴A(-1,0),C(0,-4).
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1∴由对称性可得B点坐标为(3,0).
∴A、B、C三点的坐标分别是:
A(-1,0),B(3,0),C(0,-4).
(2)∵点C(0,-4)在抛物线y=ax2+bx+c图象上,∴c=-4. 4分
将A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-4得
解得
∴此抛物线的解析式为y=x2-x-4.
(3)∵BD=m,∴AD=4-m.
在Rt△BOC中,BC2=OB2+OC2=32+42=25,∴BC=5.
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴=,即=.∴DE=.
过点E作EF⊥AB于点F,则sin∠EDF=sin∠CBA==.
∴=,∴EF=DE=×=4-m.
∴S=S△CDE=S△ADC-S△ADE=(4-m)×4-(4-m)(4-m)=-m2+2m
=-(m-2)2+2(0<m<4).
∵-<0∴当m=2时,S有最大值2.
此时OD=OB-BD=3-2=1.∴此时D点坐标为(1,0).
4.如图,抛物线y=a(x+3)(x-1)与x轴相交于A、B两点(点A在点B右侧),过点A的直线交抛物线于另一点C,点C的坐标为(-2,6).
(1)求a的值及直线AC的函数关系式;
(2)P是线段AC上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点M,交x轴于点N.
①求线段PM长度的最大值;
②在抛物线上是否存在这样的点M,使得△CMP与△APN相似?
如果存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标(不必写解答过程);如果不存在,请说明理由.
解:
(1)由题意得6=a(-2+3)(-2-1),∴a=-2.
∴抛物线的解析式为y=-2(x+3)(x-1),即y=-2x2-4x+6
令-2(x+3)(x-1)=0,得x1=-3,x2=1
∵点A在点B右侧,∴A(1,0),B(-3,0)
设直线AC的函数关系式为y=kx+b,把A(1,0)、C(-2,6)代入,
得解得
∴直线AC的函数关系式为y=-2x+2.
(2)①设P点的横坐标为m(-2≤m≤1),
则P(m,-2m+2),M(m,-2m2-4m+6).
∴PM=-2m2-4m+6-(-2m+2)=-2m2-2m+4=-2(m+)2+
∴当m=-时,线段PM长度的最大值为.
②存在.M1(0,6),.M2(-,).
ⅰ)如图1,当M为直角顶点时,连结CM,则CM⊥PM,△CMP∽△ANP
∵点C(-2,6),∴点M的纵坐标为6,代入y=-2x2-4x+6
得-2x2-4x+6=6,∴x=-2(舍去)或x=0∴M1(0,6)
(此时点M在y轴上,即抛物线与y轴的交点,此时直线MN与y轴重合,点N与原点O重合)
ⅱ)如图2,当C为直角顶点时,设M(m,-2m2-4m+6)(-2≤m≤1)
过C作CH⊥MN于H,连结CM,设直线AC与y轴相交于点D
则△CMP∽△NAP
又∵△HMC∽△CMP,△NAP∽△OAD,∴△HMC∽△OAD∴=
∵C(-2,6),∴CH=m+2,MH=-2m2-4m+6-6=-2m2-4m
在y=-2x+2中,令x=0,得y=2
∴D(0,2),∴OD=2∴=
整理得4m2+9m+2=0,解得m=-2(舍去)或m=-
当m=-时,-2m2-4m+6=(-)2-4×(-)+6=∴M2(-,)
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