二次函数与相似三角形综合题.doc
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二次函数与相似三角形综合题.doc
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二次函数与相似三角形综合题
黄陂区实验中学邓静
教学目标:
1、会求二次函数解析式;
2、根据条件寻找或构造相似三角形,在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度,从而得出点的坐标。
教学重点:
1、求二次函数解析式;
2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。
教学难点:
根据条件构造相似三角形解决问题。
情感与态度:
1、培养学生积极参与教学学习活动的兴趣,增强数学学习的好奇心和求知欲。
2、使学生感受在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼学生克服困难的意志,建立自信心。
3、培养学生科学探索的精神。
教学过程:
一、复习巩固
如图,抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A(-1,0),B(m,0)两点,与y轴交于C点,且∠ACB=90°,求抛物线的解析式.
分析:
OC2=OA·OB∴4=1×m,m=4∴B(4,0)
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-4)
代入C点(0,-2)
∴抛物线解析式为.
二、新授
例题、如图,直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于B、C,经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2,
(1)求抛物线解析式;
(2)连结AC,请问在x轴上是否存在点Q,使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ACB相似,若存在,请求出Q点坐标;若不存在,说明理由.
(3)D点为第四象限的抛物线上一点,过点D作DE⊥x轴,交CB于E,垂足于H,过D作DF⊥CB,垂足为F,交x轴于G,试问是否存在这样的点D,使得△DEF的周长恰好被x轴平分?
若能,请求出D点坐标;若不能,请说明理由.
[解]
(1)直线与轴相交于点,
当时,,
点的坐标为.
又抛物线过轴上的两点,且对称轴为,
根据抛物线的对称性,
点的坐标为.
过点,易知,
.
又抛物线过点,
∴,经过点
.
(2)连结,由,得,
设抛物线的对称轴交轴于点,在中,,
.
由点易得,在等腰直角三角形中,
,
由勾股定理,得.
假设在轴上存在点,使得以点为顶点的三角形与相似.
①当,时,.
即,,
又,点与点重合,的坐标是.
②当,时,.
即,.
,
的坐标是.
.
点不可能在点右侧的轴上.
综上所述,在轴上存在两点,能使得以点为顶点的三角形与相似.
(3)设D(a,a2-4a+3),则E(a,-a+3)
△DFE∽△BOC
∴DE:
BC=L△DEF:
L△BOC
∴=
∴L△DEF=()×(-a2+3a)
∴DH+DG===
=()×(-a2+3a)
∴=
∴a1=2,a2=3(舍)
∴D(2,-1)
应用变式:
1、在此抛物线上是否存在P点?
使得∠1+∠2=45°,若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
分析:
(1)延长CP与x轴交于E点,∠1+∠2=45°=∠ABC=∠E+∠2
∴∠1=∠E,
又∵∠COA公共
∴△OCA∽△OEC
∴OC2=OA·OE
OC2=9=1×OE
∴OE=9
∴E(9,0)
∴ 直线解析式
联立直线与抛物线
∴ P的坐标为(,)
(2)P点与A点重合,P(1,0),
∴ 综上所述,P的坐标为(),(1,0).
2、在上题抛物线中,P为抛物线上一点,PE⊥BC于E,且CE=3PE,求P点坐标.
分析:
连AC、PC,证△PEC∽△OAC,∠OCA=∠PCE,∴∠PCA=45°.
延长CP交x轴于N,△ACB∽△ANC,
AC2=AB·AN,∴N(6,0),,联立抛物线,得P().
三、小结
点的坐标是综合题的立足点(求解析式),又是综合题的制高点(求满足条件的点的坐标或存在性探求),求点的坐标一般历经下面两个关键步骤:
(1)定位
(2)计算
四、作业练习
1、如图,抛物线A、B两点(A点在B点左侧),交y轴于C(0,-2),过A、C画直线,点M在y轴右侧的抛物线上,从M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H,且ΔCHM∽ΔAOC,求M点坐标.
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- 关 键 词:
- 二次 函数 相似 三角形 综合
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