二次函数典型应用题.docx
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二次函数典型应用题.docx
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二次函数应用题分类
二次函数是初中学段的难点,学生学起来觉的比较的吃力,可以把应用问题进行分类:
第一类、利用待定系数法
对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系,并且给出几对变量值,要求求出函数关系式,并进行简单的应用。
解答的关键是熟练运用待定系数法,准确求出函数关系式。
例1.某公司生产的A种产品,它的成本是2元,售价是3元,年销售量为100万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告。
根据经验,每年投入的广告费是x(十万元)时,产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系如下表:
x(十万元)
0
1
2
…
y
1
1.5
1.8
…
(1)求y与x的函数关系式;
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式;
(3)如果投入的年广告费为10—30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大?
二、分析数量关系型
题设结合实际情景给出了一定数与量的关系,要求在分析的基础上直接写出函数关系式,并进行应用。
解答的关键是认真分析题意,正确写出数量关系式。
例2.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克,购进价格为每千克30元。
物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元。
市场调查发现:
单价定为70元时,日均销售60千克;单价每降低1元,日均多售出2千克。
在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算)。
设销售单价为x元,日均获利为y元。
(1)求y关于x的二次函数关系式,并注明x的取值范围;
(2)将
(1)中所求出的二次函数配方成的形式,写出顶点坐标;在图2所示的坐标系中画出草图;观察图象,指出单价定为多少元时日均获得最多,是多少?
(3)若将这种化工原料全部售出,比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式,哪一种获总利较多,多多少?
三、建模型
即要求自主构造二次函数,利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。
这类问题建模要求高,有一定难度。
例3.如图4,有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4dm,抛物线顶点处到边MN的距离是4dm,要在铁皮上截下一矩形ABCD,使矩形顶点B、C落在边MN上,A、D落在抛物线上,问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm?
例4..某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x为何值时,年获利最大?
最大值是多少?
(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用
(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围
在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?
四:
利润最大(小)值问题
知识要点:
二次函数的一般式()化成顶点式,如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值).
即当时,函数有最小值,并且当,;
当时,函数有最大值,并且当,.
如果自变量的取值范围是,如果顶点在自变量的取值范围内,则当,,如果顶点不在此范围内,则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性;如果在此范围内随的增大而增大,则当时,
,当时,;
如果在此范围内随的增大而减小,则当时,,当时,.
商品定价一类利润计算公式:
经常出现的数据:
商品进价;商品售价1;商品销售量;商品售价2;商品定价;(商品调价);商品销售量1;销售量变化率;其他成本。
u单价商品利润=商品定价-商品售价1
u△(价格变动量)=商品定价-商品售价2(或者直接等于商品调价);
u销售量变化率=销售变化量÷引起销售量变化的单位价格;
u商品总销售量=商品销售量1±△×销售量变化率;
u总利润(W)=单价商品利润×总销售量-其他成本
u
[例1]:
求下列二次函数的最值:
(1)求函数的最值.
[例2]:
某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:
每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
[练习]:
1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
实际问题与二次函数习题精选及解析
填空题:
1.当炮弹从炮口以30º角射出后,飞行高度h(米)与飞行时间t(秒)之间的函数关系式是h=v0t−5t2,其中v0是炮弹发射的初速度,当v0=300米/秒时,炮弹飞行的最大高度是________。
2.王师傅想在一块三角形剩料中挖取一块最大矩形料做其他用途,其图形和数据如图所示,请你计算王师傅所取得最大矩形料的面积________,这时CE=________,CF=________。
解答题:
1.某旅社有客房120间,每间房间的日租金为50元,每天都客满,旅社装修后,要提高租金。
经市场调查,如果1间客房的日租金每提高5元,则客房每天出租数会减少6间。
不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?
比装修前的日租金总收入增加多少元?
2.某商场经销一种销售成本为每千克40元的水产品;据市场调查,若按每千克50元销售,一个月能销售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量下降10千克,针对这种水产品的销售情况,请探索以下问题:
(1)当销售单价定为每千克55元时,月销售利润为多少?
(2)设月销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,写出y与x之间的函数关系式。
3.火车进站刹车滑行的距离s(单位:
m)与滑行时间t(单位:
s)的函数关系式是s=30t−1.5t2;火车离站台多远开始刹车,才能使火车票刚好停在站台位置上?
4.南博汽车城销售某种型号的汽车,每辆进货价为25万元;市场调研表明,当销售价为29万元时,平均每周能售出8辆,而销售价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆;设每辆汽车降价x万元,每辆汽车的销售利润为y万元。
(1)求y与x的函数关系式,在保证商家不亏本的前提下,写出x的取值范围;
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元,试写出z与x之间的函数关系式;
(3)当每辆汽车的定价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?
最大利润是多少?
5.小店张老板批发进货,其中有一种商品进价为每件9元,按每件15元出售,每天可销售40件;现在他想采用降价促销的办法来增加利润,已知这种商品每件每降价1元,日销售量就增加10件,那么他把售价定为多少时,才能使每天获利最大?
每天最大利润是多少?
6.在黄州服装批发市场,某种品牌的时装当季节即将来临时,价格呈上升趋势;设这种时装开始时定价为20元,并且每周(7天)涨价2元,从第6周开始保持30元的价格平稳销售;从第12周开始,当季节即将过去时,平均每周减价2元,直到第16周周末,该服装不再销售;
(1)试建立销售价y与周次x之间的关系式;
(2)若这种时装每件进价Z与周次x之间的关系为Z=−0.125(x−8)2+12(1≤x≤16,且x为整数),试问该服装第几周出售时,每件销售利润最大?
最大利润是多少?
二次函数经典应用题练习题
1、某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为100元,售价为130元,每星期可卖出80件.商家决定降价促销,根据市场调查,每降价5元,每星期可多卖出20件.
(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元?
(2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?
最大销售利润是多少?
2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:
这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.
(1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围)
(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?
(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?
最高利润是多少?
3、张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米.
(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)当x为何值时,S有最大值?
并求出最大值.
(参考公式:
二次函数(),当时,)
4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y(元)与月份x之间满足函数关系,去年的月销售量p(万台)与月份x之间成一次函数关系,其中两个月的销售情况如下表:
月份
1月
5月
销售量
3.9万台
4.3万台
(1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大?
最大是多少?
(2)由于受国际金融危机的影响,今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了,且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%.国家实施“家电下乡”政策,即对农村家庭购买新的家电产品,国家按该产品售价的13%给予财政补贴.受此政策的影响,今年3至5月份,该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下,平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台.若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元,求的值(保留一位小数).
(参考数据:
,,,)
5、某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量(件)与销售单价(元)符合一次函数,且时,;时,.
(1)求一次函数的表达式;
(2)若该商场获得利润为元,试写出利润与销售单价之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
(3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价的范围.
6、某商场在销售旺季临近时,某品牌的童装销售价格呈上升趋势,假如这种童装开始时的售价为每件20元,并且每周(7天)涨价2元,从第6周开始,保持每件30元的稳定价格销售,直到11周结束,该童装不再销售。
(1)请建立销售价格y(元)与周次x之间的函数关系;
(2)若该品牌童装于进货当周售完,且这种童装每件进价z(元)与周次x之间的关系为,1≤x≤11,且x为整数,那
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- 二次 函数 典型 应用题
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