人教版九年级数学下册反比例函数知识点归纳及练习(含答案).doc
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反比例函数
26.1知识点1反比例函数的定义
一般地,形如(k为常数,)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解:
⑴x是自变量,y是x的反比例函数;
⑵自变量x的取值范围是的一切实数,函数值的取值范围是;
⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分;
⑷反比例函数有三种表达式:
①(),
②(),
③(定值)();
⑸函数()与()是等价的,所以当y是x的反比例函数时,x也是y的反比例函数。
(k为常数,)是反比例函数的一部分,当k=0时,,就不是反比例函数了,由于反比例函数()中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k的值,从而确定反比例函数的表达式。
26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数()中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k的值,从而确定反比例函数的表达式。
26.3知识点3反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量,函数值,所以它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤:
⑴列表;⑵描点;⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点:
①列表时选取的数值宜对称选取;
②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;
③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线;
④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。
(1)图象的形状:
双曲线.
越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直. 越小,图象的弯曲度越大.
(2)图象的位置和性质:
与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线.
当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小;
当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大.
(3)对称性:
图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)在双曲线的另一支上.
图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(,)在双曲线的另一支上.
4.k的几何意义
如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是).
如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为.
图1 图2
5.说明:
(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.
(2)直线与双曲线的关系:
当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.
(3)反比例函数与一次函数的联系.
26.4知识点4反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表:
反比例函数
()
的
符号
图像
性质
①的取值范围是,y的取值范围是
②当时,函数图像的两个分支分别在第一、第三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小。
①的取值范围是,y的取值范围是
②当时,函数图像的两个分支分别在第二、第四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大。
注意:
描述函数值的增减情况时,必须指出“在每个象限内……”否则,笼统地说,当时,y随x的增大而减小“,就会与事实不符的矛盾。
反比例函数图像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数k的符号决定的,反过来,由反比例函数图像(双曲线)的位置和函数的增减性,也可以推断出k的符号。
如在第一、第三象限,则可知。
☆反比例函数()中比例系数k的绝对值的几何意义。
如图所示,过双曲线上任一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线,E、F分别为垂足,
则
☆反比例函数()中,越大,双曲线越远离坐标原点;越小,双曲线越靠近坐标原点。
☆双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点;双曲线又是轴对称图形,对称轴是直线y=x和直线y=-x。
练习
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、下列函数中y是x的反比例函数的是()
ABxy=8CD
2、反比例函数y=图象经过点(2,3),则n的值是( ).
A、-2 B、-1 C、0 D、1
3、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是()。
4、、若点A(x1,1)、B(x2,2)、C(x3,-3)在双曲线上,则()
A
B
C
y
x
O
D
A、x1>x2>x3B、x1>x3>x2C、x3>x2>x1D、x3>x1>x2
5、如图4,A、C是函数y=的图象上任意两点,过点A作y轴的垂线,
垂足为B,过点C作y轴的垂线,垂足为D,记RtΔAOB的面积为S1,
Rt△COD的面积为S2,则()
图4
A、S1>S2;B、S1<S2;C、S1=S2;D、S1和S2的大小关系不能确定
6、在反比例函数的图象的每一条曲线上,的增大而增大,则的值可以是()
A. B.0 C.1 D.2
7、如图2,正比例函数y=x与反比例y=的图象相交于A、C两点,AB⊥x轴于B,CD⊥x轴于D,则四边形ABCD的面积为()
A、1B、C、2D、
8、已知反比例函数y=的图象上有A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,当x1<x2<0时,y1<y2,则m的取值范围是( ).
A、m<0 B、m>0 C、m< D、m>
9、一次函数y=kx-k,y随x的增大而减小,那么反比例函数y=满足( ).
A、当x>0时,y>0 B、在每个象限内,y随x的增大而减小
C、图象分布在第一、三象限 D、图象分布在第二、四象限
10、若反比例函数的图象经过点(a,-a),则a的值为()
A、2;B、±2;C、-2;D、±4
二、填空题(每小题4分,共40分)
11、已知正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数y=(k2≠0)的图象有一个交点的坐标为(-2,-1),则它的另一个交点的坐标是.
12、函数是反比例函数,则的值是
13、正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A(1,),
则k= .
14、反比例函数y=(m+2)xm-10的图象分布在第二、四象限内,则m的值为.
15、在反比例函数的图象上有两点和,若时,,
则的取值范围是 .
16、如图,点M是反比例函数y=(a≠0)的图象上一点,过M点作x轴、y轴的平行线,若S阴影=5,则此反比例函数解析式为.
x
y
A
B
O
17题图
17、如图,点、是双曲线上的点,分别经过、两点向轴、轴作垂线段,若则.
18、点在反比例函数(x>0)的图象上,且横坐标为2.若将点先向右平移两个单位,再向上平移一个单位后所得的像为点.则在第一象限内,经过点的反比例函数图象的解析式是___________.
19.如图,直线y=kx(k>0)与双曲线交于A(x1,y1),
B(x2,y2)两点,则2x1y2-7x2y1=___________.
20、如图5,A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点,
BC∥轴,AC∥轴,则△ABC的面积=___________
O
B
C
A
图5
三、解答题(共50分)
21、(8分)已知若与成正比例关系,与x成反比例关系,且当X=-1时,y=3.由x=1时,y=-5时, 求y与x的函数关系式?
22、(10分)如图所示:
已知直线y=与双曲线y=交于A B两点,且点A的横坐标为4
⑴ 求k的值
⑵若双曲线y=上的一点C的纵坐标为8,求△AOC的面积
x
y
A
B
O
23、(8分)在反比例函数的图像的每一条曲线上,都随的增大而减小.在曲线上取一点A,分别向轴、轴作垂线段,垂足分别为B、C,坐标原点为O,若四边形ABOC面积为6,求的值
24、(24分)如图,已知反比例函数y=的图象与一次函
数y=ax+b的图象交于M(2,m)和N(-1,-4)两点.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)求△MON的面积;
(3)请判断点P(4,1)是否在这个反比例函数的图象上,并说明理由.
(4)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.
参考答案
1、B2、D3、B4、C5、C6、D7、C8、D9、D10、B
11、(2,1)
12、-1,13、-5
14、-3,15、K<-1
16、y=,17、4
18、y=,19、4
20、4,21、y=-x2-
22、k=8,△AOC的面积=15
23、k=6,
24、
(1)y=,y=2x-2
(2)=3,(3)在,(4)、x<-1或0<x<2
7
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