九年级数学下圆综合复习计算.doc

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切线的判定与性质

【知识要点】

1．直线与圆的三种位置关系

在图中，图

（1）、图

（2）、图（3）中的直线l和⊙O是什么关系?

2.切线的判定定理：

切线的判定定理：

经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

对定理的理解：

①经过半径外端；②垂直于这条半径．

注意：

定理中的两个条件缺少一个行不行?

定理中的两个条件缺一不可．（如图）

3.切线的判定方法

判定一条直线是圆的切线的三种方法：

（1）定义：

与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

（2）数量关系：

即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．

（3）图形位置关系（判定定理）：

．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

其中

（2）和（3）本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一。

4.切线的性质定理:

圆的切线垂直于经过切点的半径.

推论1：

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

注意：

对于切线性质定理的两个推论：

①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个

【典型例题】

例1．下列说法正确的是（）

（1）与直径垂直的直线是圆的切线；

（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

（3）经过半径外端点的直线是圆的切线；

（4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；

（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．

A、

（1）

（2）（3）B、

（2）（3）（5）C、

（2）（4）（5）D、（3）（4）（5）

例2．如图所示，PBC是⊙O的割线，A点是⊙O上一点，且．

·O

P

A

B

C

求证：

PA是⊙O的切线．

例3．如图所示，已知：

梯形ABCD中AB∥CD，∠A=，腰BC是⊙O的直径，且BC=CD+AB．

求证：

AD和⊙O相切．

A

B

D

C

例4．如图所示，已知：

两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E．求证：

CD是小圆O的切线．

·

A

C

B

D

O

例5．如图所示，AB是⊙O的直径，BC为弦，C为弧AD的中点，过C作BD的垂线交BD的延长线于E点．求证：

CE与⊙O相切．

D

·

C

A

O

B

E

B

O

A

D

C

E

例6．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB为直径为⊙与DC相切于点E，则DC=。

【课堂练习】

一．填空题：

1．以边长为3、4、5的三角形的三个顶点为圆心，分别作圆与对边相切，则这三个圆的半径分别为，，.

2．已知⊙O的直径为，点O到直线的距离是方程的根，则直线与⊙O的位置关系是．

3．两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切,则AB=cm.

4.如图1，AB是⊙O的直径，直线MN切半圆于C，AM⊥MN，BN⊥MN，若AM=，BN=，则AB=.

5．如图2，AB是⊙O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切⊙O于C，则∠D=，∠ACD=，若半径为，AC=．

6．经过圆的直径两端点的切线必互相．

7．如图3，AB为⊙O的直径，MN切⊙O于C，交AB的延长线于M，∠ACN=，∠M=。

8．如图4，P为⊙O外一点，PB切⊙O于B，连结PO交⊙O于A，已知OB=5cm，则PB=．

·

A

B

D

C

O

图2

·

O

B

M

C

N

A

图3

·

O

P

B

A

图4

·

C

A

O

B

N

图1

M

二．选择题：

1．如图5所示，PA切⊙O于A，PA=，PO交⊙O于B，，则PB的长为（）

A、1cmB、2cmC、1.5cmD、

2．如图6所示，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∠P=，则∠C=（）

A、B、C、D、

3．已知直径为13cm的圆，圆心到直线的距离是6.5cm，那么这条直线和这个圆的公共点个数是（）

A、0个B、1个C、2个D、不能确定

4．如图7，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=，以CD为直径的圆切AB于E点，AD=3，BC=4，则CD的长为（）

A、7B、3.5C、D、以上答案都不对

·

C

B

O

A

P

图6

C

·

A

B

O

D

D

E

图7

·

A

O

B

P

图5

三、解答题：

·

A

B

C

E

O

D

1．如图所示，已知：

AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AD⊥CD，垂足为D，AD、BC相交于E．求证：

AB=AE．

·

A

B

C

E

O

D

2．如图所示，中，，以AC为直径作⊙O交AB于D，E为BC中点。

求证：

DE是⊙O的切线．

三角形的内切圆

【知识要点】

三角形的内接圆，三角形的内心，圆的外切三角形，以及相应的多边形的内切圆，圆的外切多边形．本节课通过作图题引入新的概念，说明作三角形的外切圆的重要性，另外学生要深刻理解三角形的内心的实质：

三角形三个内角平分线的交点．这对于解相关问题起点睛的作用．

常用公式：

已知三角形ABC三边分别为a,b,c面积为s，则其内切圆半径r=;

若该三角形为直角三角形，∠C=，则则其内切圆半径r=;

若等边三角形边长为m,则则其内切圆半径r=。

【经典例题】

·

A

O

B

C

例1．如图所示，O是的内心，且∠BOC=．求∠A的度数．

·

A

F

E

M

D

C

B

例2．如图所示，中，内切圆M与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．若∠FDE=，求∠A的度数．

例3．如图所示，点I是的内心，AI的延长线交边BC于点D，交外接圆于点E．

（1）求证：

IE=BE；

（2）若IE=4，AE=8，求DE的长．

·

A

B

I

C

E

D

·

A

F

O

C

D

B

E

例4．如图所示，，∠C=，AB=10，AC=8，BC=6，⊙O为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F．求⊙O的半径．

·

A

F

O

C

D

B

E

例5.如图所示，∠C=，⊙O为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F．求证：

【典型练习】

一、填空题

1．如图1，在中，∠ABC=，∠ACB=，点O是内心，则∠BOC的度数为．

2．直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为，内切圆半径为．

3．等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为，则=．

4．如图2，中，∠C=，⊙O是的内切圆，分别切BC、AC、AB于D、E、F，AB=8cm，OD=2cm，则的周长为cm．

5．外切于⊙O，E、F、G分别是⊙O与各边的切点，则的外心是的。

6．圆外切等腰梯形底角为，腰长为10，则圆的半径长为．

7．的内切圆⊙I与AB、BC、CA分别切于D、E、F点，且∠FID=∠EID=，则为三角形．

图4

·

A

B

C

O

D

E

F

·

图3

A

B

C

O

D

图1

·

O

B

C

A

8．如图3所示，在中，∠ABC=，∠ACB=，点O为的内心，BO的延长线交AC于D，则∠BDC=．

A

B

C

D

O

·

E

F

图2

9．等腰中，AB=AC=13，的面积为60．求的内切圆的半径=．

二、选择题

1．半圆圆心在的斜边BC上，且半圆分别外切AB、AC于D、E，AB=4，AC=5，则半圆的半径R为（）

A、B、C、D、

2．如图4，的内切圆⊙O分别切BC、CA、AB于D、E、F，如果∠A=，∠EDF的度数为（）

A、B、C、D、

3．一定有内切圆的四边形是（）

A、矩形B、菱形C、等腰梯形D、直角梯形

4．等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是（）

A、1:

:

B、1:

:

C、1:

2:

3D、1:

2:

5．等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于（）

A、B、C、D、

三、解答题

·

B

D

F

C

E

A

O

1．如图所示，的内切圆⊙O切斜边AB于点D，切BC于点F，BO的延长交AC于点E．求证：

．

2．如图所示，⊙O为的内切圆，切点分别是D、E、F，∠A:

∠B:

∠C=2:

3:

4．求∠EDF:

∠DEF:

∠EFD．

·

B

D

F

C

E

A

O

切线长定理

【知识要点】

1、切线长的概念．

　如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．

2、切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

3、切线长定理的基本图形研究

如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C

（1）写出图中所有的垂直关系；

（2）写出图中所有的全等三角形；

（3）写出图中所有的相似三角形；

（4）写出图中所有的等腰三角形．

说明：

对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．

【典型例题】：

·

A

P

E

M

D

B

O

例1．如图所示，过半径为5cm的⊙O外一点P引⊙O的切线PA、PB，连结PO交⊙O于点M，过M作⊙O的切线分别交PA、PB于点E、D，如果OP=13cm，则的周长为

例2．已知：

如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，

A和B是切点，BC是直径．求证：

AC∥OP．

A

D

C

B

·

O

例3．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=3，BC=2，半圆O与AD、DC、BC都相切，且圆心O在AB上，则AB=．