习题集含详解高中数学题库高考专点专练之115绝对值不等式解法Word文件下载.docx
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30.若不等式的解集为,则实数等于
31.不等式的解集是
32.若不等式对于任意实数恒成立,则的取值范围是
33.已知定义在上的函数在上是增函数,且,又函数的图象关于对称,则不等式的解集是
34.已知函数,若,则的取值范围是
35.已知条件:
,条件:
,且是的必要不充分条件,则实数的取值范围是
36.已知函数是上的增函数,是其图象上的两点,那么的解集的补集为
37.若代数式与异号,则实数的取值范围是
C.D.或
38.已知集合.若,则实数的取值范围是
39.关于的不等式的解集为
40.设变量,满足,若的最大值是,则实数的值是
二、填空题(共40小题;
41.若,则的概率为
.
42.
43.已知集合,集合,若,则实数
44.函数的最小值为
45.已知集合,集合,则
46.不等式的解集为
47.不等式的解集为
48.不等式的解集为
49.不等式的解集为
50.不等式的解集是
51.不等式的解集为
52.不等式的解集是
53.不等式的解集为
.
54.已知函数.若不等式的解集为,则实数的值为
55.若关于的不等式的解集为,且,,则正整数
56.不等式的解集为
57.不等式的解集是
58.的解集是
59.不等式的解集为
60.不等式的解集为
61.若不等式成立的充分不必要条件是,则实数的取值范围是
62.不等式的解集为
63.已知函数,且.则不等式的解集为
64.不等式的解集为
65.若不等式的解集为,则实数
66.已知不等式的解集为,则的值为
67.设函数,则
;
若,则的取值范围是
68.若不等式的解集在上不是空集,则的取值范围是
69.设,,则的最大值与最小值的和是
70.不等式的解集是
71.若不等式对任意恒成立,则的取值范围是
72.已知,则关于的不等式的解集为
73.已知函数,则的解集是
74.用表示,两个数中的较大值.已知函数,则当仅当
时,函数有最小值,最小值为
75.已知,关于的方程有实数根,则实数的取值范围是
76.已知集合,,则集合
77.不等式的解集为
78.已知,,命题甲:
:
命题乙:
且,则甲是乙的
条件.
79.设集合,.若,则实数,必满足
80.设实数,使得不等式对任意的实数恒成立,则满足条件的实数的取值范围是
三、解答题(共20小题;
共260分)
81.已知函数,.
(1)当时,解不等式;
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
82.求证:
对于任意实数,,三个数,,中至少有一个不小于.
83.若实数,,满足,则称比远离.
(1)若比远离,求的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数,,证明:
比远离;
(3)已知函数的定义域任取,等于和中远离的那个值.写出函数的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).
84.已知函数,,且恒成立.
(1)求实数的最大值;
(2)当取最大时,求不等式的解集.
85.已知,.
(1)若,,求不等式的解集;
(2)求证:
恒成立的条件为且.
86.已知.
(1)当时,求的最小值;
(2)若不等式的解集非空,求的取值范围.
87.设函数.
(1)证明:
(2)若,求的取值范围.
88.已知,不等式的解集为.
(1)求的值;
(2)若恒成立,求的取值范围.
89.已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式存在实数解,求实数的取值范围.
90.已知函数.
(1)解不等式;
(2)对任意,都有成立,求实数的取值范围.
91.已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若关于的不等式的解集非空,求实数的取值范围.
92.已知.
(1)求不等式的解集;
(2)当时,证明:
.
93.
(1)设,,均为正数,且,证明:
(2)解关于不等式:
94.已知函数,.
(2)若的图象与轴围成的三角形面积大于,求的取值范围.
95.已知不等式的解集为.
(1)求,的值;
(2)若,且,,求的最大值.
96.设不等式的解集为.
(1)求集合;
(2)若,试比较与的大小.
97.设函数.
(1)若,解不等式;
(2)若函数有最小值,求的取值范围.
98.
(1)若,均为正数,且.证明:
(2)若不等式的解集为,求实数的值.
99.已知函数.
(1)当时,求函数的定义域;
(2)若关于的不等式的解集是,求实数的最大值.
100.已知函数.
(2)证明:
答案
第一部分
1.B2.D3.D【解析】集合,集合,所以,.
4.C【解析】,,故.
5.A
6.C7.D【解析】由,得,即,所以或,故解集为.
8.A9.A【解析】解,得或,即命题或,
所以命题.
命题,
因为,
所以是的充分不必要条件.
10.C
11.C12.B【解析】当时,不等式化为,解集为
当时,不等式化为,解集为
综上所述,或
13.A14.A15.D
【解析】,所以不等式的解集为.
16.D【解析】原不等式可化为,即或.所以或,也就是或.
17.A【解析】由题意,所以.
18.A【解析】因为,所以,即,,所以.
19.A20.B
【解析】提示:
分情况讨论,去绝对值.
21.A22.D【解析】由,得.因为,所以故该不等式的解集为.
23.B【解析】若,则,所以当时,有,解得.
24.D25.C
【解析】,得:
26.D【解析】①当时,,
由图
(1)可知,
当时,,可得.
②当时,,
由图
(2)可知,
当时,,可得.综上可知,的值为或.
27.C【解析】因为,所以当时,有,而已知原不等式的解集为,所以有此时无解(舍去);
当时,有,所以有
解得;
当时,原不等式的解集为,与题设不符(舍去),故.
28.D【解析】由题意可知,原不等式等价于即解得故.
29.C【解析】原不等式等价于,即.因为原不等式的解集为,所以.
30.C
【解析】由已知,,即,因为解集为,所以或解得.
31.B32.B【解析】若不等式对任意的实数恒成立,则需使的最小值大于,由绝对值的几何意义可知,表示的是数轴上动点到,,的距离之和,如图所示,
当运动到的时候,虚线重复的最少,即距离之和最小,为,所以的取值范围是.
33.D34.B【解析】由题意可知,,即,
所以,
即
解得
所以.
35.C
36.C37.D【解析】提示:
,即或解得或.
38.B【解析】因为,若,符合题意;
若,所以有
所以由得;
又,得.
由,(当且仅当时取得等号),
所以,所以.
综上实数的取值范围是.
39.B【解析】因为,所以,
所以或
对于,由得:
,解得,即或.
又,所以;
同理可得,时,.所以,方程组无解;
,解得,所以.
又当时,,当时,,所以,方程组的解集为:
40.B
表示以为中心,对角线与轴、轴平行的正方形区域,由线性规划知识可得当直线过点时最大为,所以.
第二部分
41.
42.
43.
44.
【解析】由,得的最小值为.
45.
46.
47.
48.
49.
【解析】因为,所以,所以,所以.
所以不等式的解集为.
50.
51.
【解析】不等式等价于不等式组解得.
52.
53.
【解析】表示数轴上的对应点到对应点的距离减去它到对应点的距离,
而对应点到对应点的距离减去它到对应点的距离正好等于,故的解集为.
54.
【解析】,所以有,即,所以.
55.
【解析】依题意有解得,所以正整数.
56.
57.
【解析】由绝对值的意义知,原不等式同解于,即,所以.
58.{}
59.
【解析】当时,,解得;
当时,恒成立,
所以;
当时,,解得.
综上所述,不等式的解集为.
60.
61.
62.
【解析】不等式等价于①,或②,或③,解①求得,解②求得,解③求得.综上可得,原不等式的解集为
63.
64.
【解析】分成,,三种情况去讨论.
65.
【解析】由可得,即,由题意知,故.
66.
【解析】不等式的解集为,说明解集的区间端点是方程的一个根,所以有,解得.
67.,
【解析】.
由,得,
68.
【解析】的几何意义是数轴上的点到和的距离之和.
当在,之间时,这个距离和最小,是.
.
如果原不等式的解集不是空集,则.
69.
我们先求出,.当时,最小;
当,或,时,最大.然后可求结果.
70.
【解析】原不等式等价于即解得,故原不等式的解集为.
71.
【解析】由于.所以只需即可.
72.
73.
【解析】原不等式可化为,再分类讨论,得或由得,由得.综上所述,原不等式的解集为.
74.,
75.
【解析】依题意,当时,,得,舍去;
当时,显然成立,所以;
当时,,得,舍去.综上,.
76.
【解析】解不等式.当时,,得;
当时,恒成立,得;
当时,,得.所以.当时,,所以.所以.
77.
【解析】原不等式等价于不等式组或解得或,故解集为.
78.必要不充分
【解析】,故由乙能推出甲成立,但甲成立不能推出乙成立,所以甲是乙的必要不充分条件.
79.
【解析】由得.
由得或.
因为,所以或,
即或,所以.
80.
【解析】当时,显然符合题意.
当时,原不等式可化为.取,成立.
当时,.而函数在上单调递增,故.
当时,原不等式可化为或
参照的过程解不等式组得,解得,矛盾,舍去;
由不等式组得,即,得,矛盾,舍去.
综上所述,或.
第三部分
81.
(1)当时,,
当时,,即,解得;
综上所述,不等式的解集为\({\left\{x\,\middle\vert\,1<
x<
\dfrac53\right\}}\).
(2)当时,
所以当时,或恒成立,
解,不存在;
解得:
综上知,的取值范围为.
82.假设
则由得,
由得,
得,
由得,.
与矛盾!
所以这三个数中至少有一个不小于.
83.
(1)由题意,得,得或,
即或(舍),
所以的取值范围是.
(2)即证明,
对任意两个不相等的正数,有,
,
即比远离.
(3),.
,
所以的解析式为
函数的性质:
1.是非奇非偶函数;
2.是周期函数;
3.的值域是.
84.
(1)因为,,且恒成立,
所以只需,
又因为
所以,即的最大值为.
(2)的最大值为时原式变为,
当时,可得,解得;
当时,可得,无解;
当时,可得,可得,
综上可得,原不等式的解集是.
85.
(1)当,时,不等式可化为,
从而或或
解得.
故原不等式的解集为.
(2)恒成立,即恒成立,
因而,即恒成立.
当,即时,有,且,
即或此时;
当时,,
即从而,且;
当时,显然不满足题意.
综上,恒成立的条件为且.
86.
(1)当时,,
故的最小值为,当且仅当时取得最小值.
(2),
若不等式的解集非空,则,即,因此,
87.
(1)由,有
所以
(2)
当时,,由得
综上,的取值范围是.
88.
(1)由得
又的解集为,
所以当时,不合题意;
当时,
解得
(2)记
则
因此的取值范围为.
89.
(1)当时,可化为,
化简得
解得或,即所求解集为.
(2)令,则
所以,即.所以实数的取值范围是.
90.
(1),
当时,,即,
综上,不等式的解集为:
函数的图象如图所示:
令,表示直线的纵截距,当直线过点时,;
所以当,即时成立;
当,即时,令,得,
所以,即时成立,
综上或.
91.
(1)原不等式等价于
解得
即不等式的解集为.
或.
92.
(1)即,
,,
解得:
(2)要证即证,
因为
因为,,
所以,,,
93.
(1)法一:
当且仅当时等号成立.
法二:
由柯西不等式有
所以有.
(2)由,有,可知有.
因此原不等式等价于,即.解之得.
因此原不等式的解集为.
94.
(1)时,
的解集为.
(2)
当时,;
令,,
令,,
的图象与轴围成的三角形的面积为,
的取值范围为.
95.
(1)因为,
所以,.
(2)因为,,
当且仅当时取等号,
96.
(1)由得,解得.
所以集合.
(2)由()和可知,
故.
97.
(1)当时,.
当时,可化为,解得;
当时,可化为,解得.
综上可得,原不等式的解集为.
(2)由题意得
又函数有最小值的充要条件为即.
98.
(1)因为,均为正数,
所以
当且仅当,即时取等号.
(2)不等式可化为不等式,作出函数和函数的图象,
由图象知,解得.
99.
(1)由题设知:
,
①当时,得,解得.
②当时,得,无解.
③当时,得,解得.
所以函数的定义域为.
(2)不等式,即,
因为时,恒有,
又不等式解集是,
所以,即.
所以的最大值为.
100.
(1)当时,,原不等式等价于
或
或
解得或或,
不等式的解集为.
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