二元一次方程组概念(教师).doc
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二元一次方程(组)的相关概念(提高)知识讲解
【学习目标】
1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义;
2.会检验一组数是不是某个二元一次方程(组)的解.
【要点梳理】
要点一、二元一次方程
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1.像这样的方程叫做二元一次方程.
要点诠释:
二元一次方程满足的三个条件:
(1)在方程中“元”是指未知数,“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
(2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1.
(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
要点二、二元一次方程的解
一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的一组解.
要点诠释:
(1)二元一次方程的解都是一对数值,而不是一个数值,一般用大括号联立起来如:
(2)一般情况下,二元一次方程有无数个解,即有无数多对数适合这个二元一次方程.
要点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
要点诠释:
组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如也是二元一次方程组.
要点四、二元一次方程组的解
一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
要点诠释:
(1)二元一次方程组的解是一组数对,它必须同时满足方程组中的每一个方程,一般写成的形式.
(2)一般地,二元一次方程组的解只有一个,但也有特殊情况,如方程组无解,而方程组的解有无数个.
【典型例题】
类型一、二元一次方程
1.已知方程(m﹣2)xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程,求m、n的值.
【思路点拨】根据二元一次方程的定义作答.
【答案与解析】
解:
∵(m﹣2)xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程,
∴n﹣1=1,|m﹣1|=1,
解得:
n=2,m=0或2,
若m=2,方程为2y=2,不合题意,舍去,
则m=0,n=2.
【总结升华】二元一次方程和二元一次方程组中系数的求解,要同时考虑两个未知数的系数与次数,不管方程的形式如何变化,必须满足含有两个未知数,含未知数的项的次数是一次且方程左右两边都是整式这三个条件.
举一反三:
【高清课堂:
二元一次方程组的概念409142例1
(2)】
【变式1】已知方程是二元一次方程,则m=,n=.
【答案】-2,
【变式2】方程,当时,它是一元一次方程.
【答案】;
类型二、二元一次方程的解
2.若方程中,当x=1时,y=-1,求a的值.
【思路点拨】该题其实是给出了二元一次方程的一个解,只需把它代入方程,原方程就转化为关于a的一元一次方程,即可求出.
【答案与解析】
解:
把x=1,y=-1代入原方程,,.
【总结升华】一组数是方程的解,那么它一定满足这个方程,利用方程解的定义可以求出方程中其他字母的值,所以在今后的学习中要会灵活运用它.
【高清课堂:
二元一次方程组的概念409142例2(3)】
举一反三:
【变式】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是,求m的值.
【答案】
解:
将代入方程2x-y+m-3=0得,解得.
答:
m的值为3.
3.写出二元一次方程的所有正整数解.
【思路点拨】可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数,先解关于另一个未知数的一元一次方程,当两个未知数的取值均为正整数才是方程的解,写时注意按一定规律写,做到不重、不漏.
【答案与解析】
解:
由原方程得,因为都是正整数,
所以当时,.
所以方程的所有正整数解为:
,,,.
【总结升华】对题意理解,要注意两点:
①要正确;②不重、不漏.两个未知数的取值均为正整数才是符合题意的解.
举一反三:
【变式1】(2015春•孟津县期中)已知是关于x、y的二元一次方程ax﹣(2a﹣3)y=7的解,求a的值.
【答案】
解:
把代入方程ax﹣(2a﹣3)y=7,可得:
2a+3(2a﹣3)=7,
解得:
a=2.
【变式2】在方程中,若分别取2、、0、-1、-4,求相应的的值.
【答案】将变形得.
把已知值依次代入方程的右边,计算相应值,如下表:
2
0
-1
-4
-2
2
6
类型三、二元一次方程组及解
4.(淮阳)甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为.乙看错了方程②中的b.得到方程组的解为.试计算:
的值.
【思路点拨】把x、y的值代入正确的方程,就可以求出字母的值.
【答案与解析】
解:
把代入②,得-12+b=-2,所以b=10.
把代入①,得5a+20=15,所以a=-1,
所以.
【总结升华】一组数是方程的解,那么它一定满足这个方程,利用方程解的定义可以求出方程中其他字母的值,所以在今后的学习中要会灵活运用它.
举一反三:
【变式】已知关于的二元一次方程组,求.
【答案】
解:
将代入原方程组得:
,解得,所以.
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