一次函数的图像与性质.doc
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一次函数的性质和图像
目录
一、函数的定义
(一)、一次函数的定义函数。
(二)、正比例函数的定义
二、函数的性质
(一)、一次函数的性质
(二)、正比例函数的性质
三、函数的图像
(一)、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置
(二)、一次函数的图像
1、一次函数图像的形状
2、一次函数图像的画法
(三)、正比例函数的图像
1、正比例函数图像的形状
2、正比例函数图像的画法
3、举例说明正比例函数图像的画法
四、k、b两个字母对图像位置的影响
K、b两个字母的具体分工是:
(一次项系数)k决定图象的倾斜度。
(常数项)b决定图象与y轴交点位置。
五、解析式的确定
(一)一个点坐标决定正比,两个点坐标决定一次
(二)用待定系数法确定解析式
六、两条函数直线的四种位置关系
两直线平行,k1=k2,b1≠b2
两直线重合,k1=k2,b1=b2
两直线相交,k1≠ k2
两直线垂直,k1×k2= -1
(一)两条函数直线的平行
(二)两条函数直线的相交
(三)两条函数直线的垂直
一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数
这一节我们要学习正比例函数和一次函数。
一次函数的解析式是y=kx+b,如果当这个式子中的b=0时,式子就变成了正比例函数y=kx。
因此,正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。
正是因为正比例函数实际上就是一次函数,所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。
在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中,由于函数y与自变量x之间有比例关系,就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系,因而字母k就取名为比例系数。
确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。
但是,在一次函数y=kx+b和二次函数y=ax2+bx+c中,我们从观察解析式就可以看出,函数y与自变量x之间没有相直接对应的比例关系,因此这两种函数自变量x前面的k,就不能叫比例系数,只能叫常数。
若欲确定一次函数或二次函数的解析式时,题意仅已知常数k还不行,还需要其他常数如b、c等常数的协助。
函数是初中数学最难的内容,特别是四种函数都学完之后,把各种函数甚至几何图形综合出题,考查你对函数基本知识如概念、性质、图像等的掌握,对公式的记忆和你的综合分析能力,也是出题最后环节大应用题的精彩压轴戏。
尽管大纲要求降低对学生掌握函数难度的要求,但应试教育下函数仍应该引起同学们对函数学习的足够重视。
从上面初中数学代数知识结构框架图可以看出,初中所学函数包括一次函数、反比例函数和二次函数。
一次函数是入门课,而且在八年级下学习反比例函数,九年级下学习二次函数时,都还要解决这后面学习的两种函数与一次函数的交叉计算的问题,所以学好一次函数和正比例函数,对打好函数的基础十分重要。
一、函数的定义
(一)、一次函数的定义
一次函数定义
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,当b=0时,即y=kx,这时就是正比例函数。
关键词:
①、自变量x的次数只能为1次;;
②、k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1
③、一次项系数k不为0,而且x不能为分母(那就成为反比例函数了),而且x也不能在根号里面。
一次函数解析式的判断
根据一次函数y=kx+b的定义来判断:
①、判断是否能化成y=kx+b自变量次数为1的定义式。
②、看它是否符合定义的这些条件“k、b为常数,k≠0,自变量次数为1”;
判断一个函数是不是一次函数,首先对式子进行化简后,判断标准是:
未知数的次数只能是1次,而且未知数x不能在分母或者根号里面。
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b,则此时称y是x的一次函数。
(二)、正比例函数的定义
正比例函数定义
一般地,形如定义式y=kx(k是常数,k≠0),自变量x与函数y之间是k倍关系的函数,叫做正比例函数。
其中,k叫做比例系数。
一般地,两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数,且k≠0)的函数,那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数是一次函数解析式b=0(即所谓“y轴上的截距”为零)时的特殊情况。
当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.因此,正比例函数就是一次函数;一次函数不一定是一次函数。
正比例函数解析式的判断
根据正比例函数y=kx+b的定义来判断:
①、判断是否能化成y=kx自变量次数为1的定义式。
②、看它是否符合定义的这些条件“k为常数且≠0,自变量次数为1”。
试判断下列函数中是正比例函数的是
答:
①是反比例函数;②自变量系数为0,不是函数;③是一次函数;④是。
正比例函数是一次函数解析式b=0(即所谓“y轴上的截距”为零)时的特殊情况。
当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.因此,正比例函数就是一次函数;一次函数不一定是一次函数。
(三)、一次函数与正比例函数的关系
正比例函数属于一次函数。
(四)、自变量x取值范围的确定
自变量X的取值范围应 使解析式有意义。
整式,x取一切实数;
分式,x取分母不为零的数;
二次根式,x取使被开方数为非负数的数;
实际问题则需要根据实际情况来确定.
(五)、求函数y的取值范围:
根据自变量的取值范围确定函数的取值范围
1、解不等式法 2、图象法
二、函数的性质
(一)、一次函数的性质
当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,是增函数(即y随着x的增大而增大)。
当b>0时,直线必通过第二象限;当b<0时,直线必通过第四象限
当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,是减函数(即y随着x的增大而减少)。
当b>0时,直线必通过第一象限;当b<0时,直线必通过第三象限。
(二)、正比例函数的性质
一般地,正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象是一条经过原点和(1,k)的一条直线,我们称它为直线y=kx.。
正比例函数y=kx(k≠0)的性质:
当k>0时,函数图像经过第一、三象限;自变量x逐渐增大时,函数值y也在逐渐增大;(也就是“提”的走向)
当k<0时,函数图像经过第二、四象限;自变量x逐渐增大时,函数值y反而减小。
(也就是“捺”的走向)
归纳为一句话,正比例函数图象的性质归根结底看k的符号。
即:
k>0 提 (一、三,增大) ;
k<0 捺 (二、四,减小)
三、函数的图像
(一)、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置
正比例函数y=kx(k≠0)是经过(0,0),(1,k)两点的一条直线;
一次函数y=kx+b(k≠0)是经过(0,b), (-b/k,0)两点的一条直线。
因此,一次函数的图象和正比例函数的图象也称为直线y=kx,y=kx+b。
理由是:
当直线经过x轴,与x轴相交时,y=0,则kx+b=0,则x=-b/k.点的坐标为(-b/k,0)
当直线经过y轴,与y轴相交时,x=0,在kx+b=y中,b=y,则点的坐标为(0,b).
为什么一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线?
因为坐标满足一次函数解析式的点都在直线上;而图象上点的坐标都满足一次函数解析式。
解释:
A、当x=0,y当然就等于=b,所以第一个数对点是(0,b)
B、当y=0,x当然就等于=-b/k,所以第二个点是(-b/k,0)
一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-b/k,0)的一条直线
(二)、一次函数的图像
1、一次函数图像的形状
总结:
一次函数y=kx+b的图象有以下特点:
分析:
⑴、在函数y=2x+6中,k>0,y的值随x值的增大而增大;在函数
y=-x+6中,y的值随x值的增大而减小。
⑵、由上可知,一次函数y=kx+b中,y的值随x的变化而变化的
情况跟正比例函数的图象的性质相同。
对照正比例函数图象的性质,可知
一次函数的图象不同之处是不过原点,但是和两个坐标轴相交。
在作一次
函数的图象时,也需要描两个点。
一般选取(0,b),(-b/k,0)比较简单.
2、一次函数图像的画法
一次函数y=kx+b的图象的画法:
根据几何知识:
经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可。
一般情况下是先选取它与两坐标轴的交点:
(0,b),(-b/k,0).即横坐标或纵坐标为0的点。
画一次函数的图象通通如下三个步骤:
(1)列表:
画一次函数y=kx+b(k≠0)图像先要列表只取两个点
x
0
-b/k
y
b
0
(2)描点:
根据“两点确定一条直线”的原理描出两个坐标点,
(3)连线:
将描出的两个坐标点连接连成一条直线。
参考课件:
一次函数的图像
(三)、正比例函数的图像
1、正比例函数图像的形状
正比例函数的图像
解析式
图像
图像分布
函数变化情况
k.>0(提)
k<0(捺)
k>0(提)
k<0(捺)
y=kx
(k≠0)
是经过原点(0,0)和(1,k)的一条直线。
一、三
象限
二、四
象限
y随着的x增大而增大
y随着x的增大而减小
总结:
正比例函数的图象有以下特点:
(1)正比例函数的图象都经过坐标原点。
(2)作正比例函数y=kx的图象时,除原点外,还需找一点,一般找(1,k)点。
(3)在正比例函数y=kx的图象中,当k>0时,k的值越大,如3,函数图象与x轴正方向所成的锐角越大。
k的值越小,如1/3,函数图象与x轴正方向所成的锐角
越小。
(4)在正比例函数y=kx的图象中,当k>0时,y的值随x值的增大而增大;当k<0时,y的值随x值的增大而减小。
2、正比例函数图像的画法
例1:
如果你不用两点法,而是想多描一些点,可以如下例。
但是,两点决定一条直线,有两点就够了,不过下面仅是为了举个例子看一下,倒也无妨。
下面是实际中只用两个点画正比例图像的两个例子:
例①y=x;例②y=-1/2。
画正比例函数的图象有如下三个步骤
(1)列表:
画正比例函数y=kx+0(k≠0) 图像先要列表,像一次函数一样,只取两个点,但其中有一个点的坐标必须在原点
x
0
1
y
0
k
(2)描点:
根据“两点确定一条直线”的原理描出两个坐标点,
(3)连线:
将描出的两个坐标点连接连成一条直线。
提示:
根据正比例函数的图象是经过原点O(0,0)的一条直线及几何中知识:
两点确定一条直线,所以画正比例函数的图象只需要确定出图象上两个点,其中有一个点是(0,0)的位置,过这两个点画出的直线就是正比例函数的图象。
3、举例说明正比例函数图像的画法
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