5.1相交线(2)垂线教案.doc

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5.1.1相交线

（2）垂线教案

【教学目标】

1.知识与能力：

（1）使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，理解垂线的性质，掌握过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

（2）会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线．

　　2.过程与方法：

经历观察、分析、概括、论述的学习过程，培养学生逻辑思维能力以及推理能力，进一步训练学生的作图能力

3.情感、态度与价值观：

通过创设情境，激发学生学习兴趣，给学生创造成功的机会，体验成功的快乐

【教学重点】使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，理解垂线的性质

【教学难点】用垂线定义判断两条直线是否垂直及垂线的画法

【教学方法】创设情境－－主体探究－－应用提高

【教学过程】

一、创设情境，探究垂线的概念

活动1：

两条直线相交形成4个角，在相交线模型中若固定木条a，旋转木条b，当b的位置发生变化时，a、b所成的角也会随之变化，

学生观察：

当所成的角是90°时，我们说这两条直线互相垂直

教师和学生归纳：

若两条直线相交成90°角，则称这两条直线互相垂直，当两条直线互相垂直时，其中一条直线就是另一条直线的垂线

如图，直线AB与直线CD相交于点O，若∠AOD=90°，则称为AB与CD垂直，

记作AB⊥CD，交点O叫作垂足

注意：

垂直是两个图形的位置关系，而垂线是一个图形

二、创设情境，引导学生探索垂线的画法

活动2：

如图

（1）现有一条已知直线AB，分别过直线外一点C和直线上一点D，作AB的垂线，你能有几种方法？

（2）通过上述方法作出的垂线有几条？

从中你能发现什么结论？

学生活动设计：

学生独立思考，动手操作，自主探索。

经过思考、操作发现，

对于问题

（1）可以有下列几种方法来画垂线

①用度量法，用量角器

②用三角板，如图

③用折纸法，对折直线AB，使折痕两旁的部分重合，且折痕过点C（点D）折痕所在的直线就是符合条件的直线

对于问题

（2）学生经过上述作图，不难发现，只能作一条，于是得到垂线的性质

教师活动设计：

引导学生进行探究，及时纠正学生的不准确的几何语言为规范的符号语言，同时在学生归纳的基础上进行归纳垂线的性质

经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，且只能画一条垂线

即：

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直

[活动3]

巩固练习

画一条线段或一条射线的垂线，如何画？

（1）

（2）（3）

学生活动设计：

学生思考、讨论，交流，特别是第

（2）、（3）个问题，让学生经过观察发现，作已知线段、射线的垂线其实就是经过已知点作已知线段、射线所在的直线的垂线，只要理解这一点，作垂线的问题就迎刃而解

教师活动设计：

在学生讨论过程中，适当的引导学生如何作线段的垂线，特别是

（2）（3）需要将其延长或反向延长，才能作出垂线，进而归纳出垂线的性质

三、问题引申，探究点到直线的距离问题，培养学生的应用意识，以及探究精神

[活动4]

问题：

在灌溉时需要把河AB中的水引到C处，如何挖渠能使渠道最短？

学生探究：

学生可以自主探究，先在直线AB上任取一些点，连接此点和C，可以发现CD最短，此时CD⊥AB,于是找到挖渠方案（或通过教师的电脑演示，发现当CD与AB垂直时，距离最短）

教师活动：

适时的给出概念：

（1）垂线段：

垂线上一点到垂足的距离

（2）点到直线的距离：

点到直线的垂线段的长度

〔解答〕过C作AB的垂线，垂足为D，则线段CD就是挖渠路线

[活动5]从上述探究过程中你能发现什么结论？

学生归纳：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

即：

垂线段最短

教师活动：

纠正学生在总结归纳时语言的简洁性与准确性

[活动6]

问题：

学校要测出一块三角形空地的面积，以便计算绿化成本，现在已经测量出AC＝5cm，还要测量出哪些量，才能计算三角形的面积？

学生活动设计：

学生独立思考，自主探索，根据三角形的面积公式不难发现只要测量出点B到线段AC的距离即可计算三角形的面积，于是可以作出点B到AC的垂线段BD，再测量BD的长度即可

教师活动设计：

在学生活动的过程中，若出现思维上的困难可以适时的进行引导、启发，通过这个问题的解决，使学生进一步理解点到直线的距离的概念，让学生体验在生活中数学的作用，增强学生的应用意识

〔解答〕略

四、拓展创新、应用提高，培养学生的逻辑思维能力

问题1：

如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，且∠DOE=3∠COE,求∠AOD的度数

学生活动设计：

由OE⊥AB可以知∠BOE=90°，于是∠AOC+∠COE=90°，又∠DOE=3∠COE，且∠DOE＋∠COE＝180°，于是3∠COE＋∠COE＝180°，从而∠COE＝45°，所以∠AOC＝90°－45°＝45°，进而得到∠AOD＝135°

教师活动设计：

在学生思考或表述过程中及时提醒学生用规范的语言进行表述，以此训练学生的逻辑推理能力，同时考察学生的几何直观

〔解答〕因为∠DOE=3∠COE，且∠DOE＋∠COE＝180°

所以3∠COE＋∠COE＝180°

所以∠COE＝45°

因为OE⊥AB

所以∠BOE=90°

所以∠BOC＝135°

又∠BOC=∠AOD

所以∠AOD＝135°

问题2：

如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M、N是分别位于公路两侧的村庄

（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到Q点时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置

（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段距离M、N两村庄都越来越近？

在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远？

学生活动设计：

学生独立思考，在必要时可以进行适当的讨论，经过思考或讨论可以发现对于问题

（1）当汽车距离M最近时，相当于过M作直线AB的垂线，垂足就是P点，同理，过N点直线AB的垂线，垂足就是Q的位置；对于问题

（2）可以通过图形观察发现，当处于AP路段时距离两村距离越来越近，在处于PQ路段时距离M越来越远、距离N越来越近

教师活动设计：

本问题的解决，再一次让学生体会

（1）数学与生活的密切练习

（2）学生的作图能力的训练

（3）垂线段最短的知识

（4）两点之间距离的定义

（5）解决实际问题的能力

因此在学生探究期间，要给予充分的空间和时间，借此让学生的主体性充分发挥，教师仅起到引导者的作用

五、小结与作业

小结：

1．垂线的定义

2．垂线的性质（2个）

3．垂线性质的应用

【作业】：

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