初二数学培优与提高因式分解小结Word下载.docx
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因式分解x3-9x+8(四种方法)
a.将常数项8拆成-1+9;
b.将一次项-9x拆成-x-8x;
c.添加两项-x2+x2;
d.将三次项x3拆成9x3-8x3;
拆项、添项法的难点在于:
不易想到添加项。
更复杂的情况是,添加项后分成的多项式又无公因式可提,而是要先将他们分解,再与第三组结合,找到公因式,运用公式。
(如:
本小结难题解答例8。
)
6.分组分解法。
一般分组后应有公因式可得;
或能用公式法进一步分解;
或能用十字相乘法把一些多项式因式分解。
有时,还需添项或拆项后再分组。
7.换元法。
用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换。
根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式;
(《举一反三》p5题7)
实际上是将某一多项式看作一个整体,但并不要设立新元来代替它。
即:
熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体。
《因式分解第一讲》例9解法2)
换元法分解简单一点的多项式时,可直接利用换元法解题。
复杂一点时,先将两个多项式分解,然后再重新组合,最后再用换元法解题等等。
8.求根法。
如果ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1,x2,那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。
9.待定系数法。
10.轮换对称多项式分解法。
(作为第五点,小结)
11.恒等变形。
(下一次学习)
三、几个需要重点关注的问题
1.合数的概念?
合数又名合成数,是满足以下任一(等价)条件的正整数:
a.是两个大于1的整数之乘积;
b.拥有某大于1而小于自身的因数(因子);
c.拥有至少三个因数(因子);
d.不是1也不是素数(质数);
e.有至少一个素因子的非素数。
以下是关于合数以及一些特殊合数的结论:
·
一个合数有奇数个因数(因子)当且仅当它是完全平方数。
只有1和它本身两个约数的数,叫质数(又称素数)。
2÷
1=2,2÷
2=1,所以2的约数只有1和它本身2这两个约数,2就是质数。
除了1和它本身两个约数外,还有其它约数的数,叫合数。
4÷
1=4,4÷
2=2,4÷
4=1,很显然,4的约数除了1和它本身4这两个约数以外,还有约数2,所以4是合数。
1既不是质数也不是合数。
因为它的约数有且只有1这一个约数。
合数就是有两个以上的因数的数叫做合数。
本小结难题解答例14。
2.公式"
a3+b3+c3=3abc(a+b+c=0)"
解题技巧?
公式(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=a3+b3+c3-3abc,当a+b+c=0时,就转化成了"
a3+b3+c3=3abc"
的形式,这在解答某些问题时是相当方便的。
例1:
已知三角形三条边a、b、c满足关系a3+b3+c3=3abc,试判断此三角形的形状。
解:
由a3+b3+c3=3abc可知(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0
∵a+b+c≠0∴(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0
即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
于是a=b=c.
故此三角形是等边三角形。
例2:
已知x+y+z=3,且(x-1)3+(y-1)3+(z-1)3=0,求证:
x、y、z中至少有一个等于1。
证明:
由x+y+z=3可知(x-1)+(y-1)+(z-1)=0
∴(x-1)3+(y-1)3+(z-1)3=3(x-1)(y-1)(z-1)=0
∴x=1或y=1或z=1
即x、y、z中至少有一个等于1
例3:
已知a+b+c=0,a3+b3+c3=0,a99+b99+c99=?
解:
∵a+b+c=0,a3+b3+c3=0
∴3abc=abc=0
即ab(a-b)=0
因此可以有几种情况:
①:
a=0,并且因为a+b+c=0有b=-c将此带入a99+b99+c99知道原式为0;
②:
b=0,同理原式为0;
③:
a=b,由a+b+c=0解得c=-2a,带入a3+b3+c3=0依然有a=b=c=0,因此原式为0。
综上所述,a99+b99+c99==0。
思维延伸:
只要是a+b+c的任何奇次方,都等于0,如:
a2011+b2011+c2011等等。
3.多利用平方差公式降幂,少利用完全平方公式升幂。
4.(xn)m=xnm与xnxm=xn+M是不同的。
5.换元法分解的结果未必是最终结果:
a.注意令x+y=a,xy=b,要代回;
b.分解到不能再分为止,如:
(xy+x+y+1)=(x+1)(y+1),x3+x2+x+1)=(x+1)(x2+1)等等。
(《举一反三》p3题4)
6.分解因式求m值时;
a.运用双十字相乘法与原式比较即可,或者运用a2+b2=0;
b.运用待定系数法;
①求未知常数项。
(《举一反三》p5题5)
②求变量常数项。
(《举一反三》p4题6-3)
c.一些怪题,如运用其他方法不能分解因式,就用待定系数法。
只知一个因式,不知其他几个因式时;
或是为某个多项式的平方时。
具体方法是,先假设,然后展开,与原式进行比对,求出未知项,最后写出整个分解完的因式。
7.结合系数特征,进行因式分解,简化了多项式的结构,也突出了分解方向。
(《举一反三》p7题2、2-1)
8.结果推导法解题。
a.由结果反推,得到答案。
(《举一反三》p5题9)
b.假设结论,反推不成立,破题。
(《举一反三》p7题3-1)
9.凡是一元四次多项式,只要系数对称,均可提x2公因式来分解因式。
(《举一反三》p6题1)
10.因式分解具有唯一性。
不管用什么方法,走了哪些过程,结果必然是一样的。
四、难题解答
1.如果3x3-x=1,则9x4-12x3-3x2-7x+2001的值等于?
(武汉市2000年竞赛题)
∵3x3-x=1,即:
3x3-x-1=0
∴9x4+12x3-3x2-7x+2001
=3x(3x3-x-1)+4(3x3-x-1)+2005
=2005。
2.若x+y=1,则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于多少?
(第14届“希望杯”邀请赛题)
∵x+y=-1,
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4
=(x4+2x2y2+y4)+5xy(x2+y2)+xy(x+y)+6x2y2
=(x2+y2)2+5xy[(x+y)2-2xy]+xy(x+y)+6x2y2
=[(x+y)2-2xy]2+5xy(1-2xy)-xy+6x2y2
=(1-2xy)2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2
=1.
3.若a,b,c,d都是正数,则在以下命题中,错误的是:
C
A若a2+b2+c2=ab+bc+ca,则a=b=c
B若a3+b3+c3=3abc,则a=b=c
C若a4+b4+c4+d4=2(a2b2+c2d2),则a=b=c=d
D若a4+b4+c4+d4=4abcd,则a=b=c=d
分析:
a4+b4大于等于2a2b2当且仅当a=b时等号成立
c4+d4大于等于2c2d2当且仅当c=d时等号成立
但是两个条件之间没有任何关系,只要a=b且c=d,等号就成立,并不一定要a=b=c=d
至于C、D,就是直接套用均值不等式,没什么说的
说说A
a2+b2+c2=(a2+b2)/2+(b2+c2)/2+(c2+a2)/2
(a2+b2)/2大于等于ab当且仅当a=b时等号成立
(b2+c2)/2大于等于bc当且仅当b=c时等号成立
(c2+a2)/2大于等于ca当且仅当a=c时等号成立
注意这三个条件彼此有重合(这和C选项不一样),最终当a=b=c时,等号成立
4.已知a>b>c,m=a2b+b2c+c2a,n=ab2+bc2+ca2,则m与n的大小关系是?
∵M-N=(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)
=a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2
=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
=a2(b-c)+bc(b-c)-ab2+ac2
=a2(b-c)+bc(b-c)-a(b+c)(b-c)
=(b-c)(a2+bc-ab-ac)
=(b-c)(a-c)(a-b)
又a>b>c
∴M-N=(b-c)(a-c)(a-b)>0
即M>N。
实际上a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)是一个轮换对称式,可以分解为-(a-b)(b-c)(c-a),考虑到a>c,o为便于分析,可化为(b-c)(a-c)(a-b)。
5.分解因式a12+a9+a6+a3+1
x^12+x^9+x^6+x^3+1
=(x^12+x^11+x^10+x^9+x^8)-(x^11+x^10+x^9+x^8+x^7)+x^9+x^7+x^6+x^3+1
=x^8(x^4+x^3+x^2+x+1)-x^7(x^4+x^3+x^2+x+1)+x^9+x^7+x^6+x^3+1
=x^8(x^4+x^3+x^2+x+1)-x^7(x^4+x^3+x^2+x+1)+(x^9+x^8+x^7+x^6+x^5)-(x^8+x^7+x^6+x^5+x^4)+x^7+x^6+x^4+x^3+1
=x^8(x^4+x^3+x^2+x+1)-x^7(x^4+x^3+x^2+x+1)+x^5(x^4+x^3+x^2+x+1)-x^4(x^4+x^3+x^2+x+1)+x^7+x^6+x^4+x^3+1
=x^8(x^4+x^3+x^2+x+1)-x^7(x^4+x^3+x^2+x+1)+x^5(x^4+x^3+x^2+x+1)-x^4(x^4+x^3+x^2+x+1)+(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3)-(x^5+x^4+x^3+x^2+x)+(x^4+x^3+x^2+x+1)
=x^8(x^4+x^3+x^2+x+1)-x^7(x^4+x^3+x^2+x+1)+x^5(x^4+x^3+x^2+x+1)-x^4(x^4+x^3+x^2+x+1)+x^3(x^4+x^3+x^2+x+1)-x(x^4+x^3+x^2+x+1)+(x^4+x^3+x^2+x+1)
=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
6.分解因式(ax-by)3+(by-cz)3+(ax-cz)3
原式==(ax-by+by-cz)[(ax-by)²
-(ax-by)(by-cz)+(by-cz)²
]-(ax-cz)³
=(ax-cz)[(ax-by)²
-(ax-cz)²
]
=(ax-cz){(ax-by)²
-(ax-by)(by-cz)+[(by-cz)+(ax-cz)][(by-cz)-(ax-cz)]}
-(ax-by)(by-cz)+(by-2cz+ax)(by-ax)]
=(ax-cz)(ax-by)[(ax-by)-(by-cz)-(by-2cz+ax)]
=3(ax-cz)(ax-by)(cz-by)
令ax=m,by=n,cz=l,或把ax,by,cz,看成一个整体,不可分割的变量,则原式可变为(m-n)3+(n-l)3+(l-m)3,是一个轮换对称式,可因式分解为k(m-n)(n-l)(l-m),很容易求出k等于3。
7.求证:
对任何整数x和y,x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5的值都不会等于33。
原式=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-y^2)(x^2-4y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
现在我们假定原式会等于33,即
(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)=33=1×
3×
11........................①
讨论:
显然,①式左端5个因式均不为0,且①式左端的5个分解式中,两两不等,也就是5个因式互不相等,否则的话,例如:
x+3y=x+y,将推出y=0,而当y=0时,①式变形为:
x^5=33,则x无整数解。
因此,①式左端的5个因式分别代表了5个不同的整数,而①式右端的33只能分解成3个不同的因数:
1、3、11,所以①式左右两端不对应,换句话说,也就是:
对任何整数x和y,x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5的值都不会等于33。
8.分解因式a3b-ab3+a2+b2+1
添加两项+ab-ab
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1)
9.分解因式x5+x4+x3+x2+x+1
原式=x4(x+1)+x2(x+1)+(x+1)
=(x+1)(x4+x2+1)
=(x+1)[(x2+1)2-x2]
=(x+1)(x2+x+1)(x2-x+1)
10.分解因式x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1
原式=(x7+x6)+(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)
=(x+1)(x6+x4+x2+1)
=(x+1)[x4(x2+1)+(x2+1)]
=(x+1)(x2+1)(x4+1)
11.分解因式x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1
原式=x5(x3+x2+x+1)+x(x3+x2+x+1)
=x(x4+1)(x3+x2+x+1)
=x(x+1)(x2+1)(x4+1)
12.分解因式(a+b)5-a5-b5
这是五次对称多项式,易发现,
当a=-b时,原多项式为0,
所以原多项式含有因式a+b,
由于是对称多项式,则必还含有因式b+c,c+a.
即含有因式(a+b)(b+c)(c+a),
从次数上看,原多项式还应含有一个2次对称多项式,
可设为m(a^2+b^2+c^2)+n(ab+bc+ca),
即(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5=(a+b)(b+c)(c+a)[m(a^2+b^2+c^2)+n(ab+bc+ca)],
其中m,n是待定系数。
令a=1,b=1,c=0
得30=2(2m+n),
令a=0,b=1,c=2
得210=6(5m+2n),
解得:
m=5,n=5,
所以(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5=5(a+b)(b+c)(c+a)[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca]
12.求证x=n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一个完全平方数?
原式=(n2+n)(n2+5n+6)+1
=n4+6n3+11n2+6n+1
=(n2+3n)2+2(n2+3)+1
=(n2+3n+1)2
13.分解因式(1-7t-7t2-3t3)(1-2t-2t2-t3)-(t+1)6
设t+t^2=m,t^3=n,
原式=(1-7m-3n)(1-2m-n)-(3m+n+1)^2
=(5m+2n)(m+n-3)
=(2t^2+5t+5)t(t-1)(t^2+2t+3)
14.若a为自然数,则a4-3a2+9是质数还是合数,请说明理由?
原式=(a4+6a2+9)-9a2=(a2+3a+3)(a2-3a+3),
当a=0时,原式=9是合数;
当a=1时,原式=7是质数;
当a=2时,原式=13也是质数;
当a>2时,a2+3a+3>1,a2-3a+3=(a-2)(a-1)+1>1,
这说明,此时a4-3a2+9可以分解为两个大于1的自然数的积,即它是合数.
故当a=0或a>2时原式的值是合数;
当a=1或a=2时原式的值是质数。
15.求使x2-5x-24成为完全平方数的所有x的值?
原式=(x-5\2)2-121\4=y2(y为自然数)
(2x-5)2-4y2=121
故(2x+2y-5)(2x-2y-5)=121
又因2x+2y-5、2x-2y-5都是整数,且奇偶性质相同,
又y是自然数,所以2x+2y-5<2x-2y-5
因此,可得
2x+2y-5=1212x-2y-5=1或2x+2y-5=112x-2y-5=11
2x+2y-5=-12x-2y-5=-121或2x+2y-5=-1112x-2y-5=-11
解得x1=33,x2=8,x3=-28,x4=-3。
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