证明圆的切线经典例题1Word下载.docx
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∵BF与⊙O相切,∴OB⊥BF.
∴∠OEF=900.
∴EF与⊙O相切.
说明:
此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.
1
PA与⊙O相切.
证明一:
作直径AE,连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD,
∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB,
∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E,
∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径,
∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=900.
∴∠1+∠EAC=900.
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二:
延长AD交⊙O于E,连结OA,OE.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴BE=CE,
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900.
∵OA=OE,∴∠E=∠1.
∵PA=PD,∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900
2
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切
此题是通过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用.
例3如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M
DM与⊙O相切.
连结OD.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OD,∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C.
∴OD∥AC.
∵DM⊥AC,
D
∴DM⊥OD.
∴DM与⊙O相切证明二:
连结OD,AD.
又∵AB=AC,
∴∠1=∠2.
∵DM⊥AC,
∴∠2+∠4=900
∵OA=OD,
C
∴∠1=∠3.
∴∠3+∠4=90.
即OD⊥DM.
3
∴DM是⊙O的切线
证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的,解题
中注意充分利用已知及图上已知.
例4如图,已知:
AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=300,BD=OB,D
在AB的延长线上.
DC是⊙O的切线
连结OC、BC.
∵OA=OC,
∴∠A=∠1=∠300.
∴∠BOC=∠A+∠1=600.
又∵OC=OB,D
∴△OBC是等边三角形.
∴OB=BC.
∵OB=BD,
∴OB=BC=BD.
∴OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切线.
此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的,此题解法颇多,但这种方法较好.
例5如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·
OP.
PC是⊙O的切线.
连结OC
∵OA2=OD·
OP,OA=OC,
∴OC2=OD·
OP,
OCOP
.
ODOC
又∵∠1=∠1,
∴△OCP∽△ODC.
4
∴∠OCP=∠ODC.
∵CD⊥AB,∴∠OCP=900.
∴PC是⊙O的切线.
此题是通过证三角形相似证明垂直的
例6如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点,AG交BD于E,交CD于F.
CE与△CFG的外接圆相切.
分析:
此题图上没有画出△CFG的外接圆,但△CFG是直角三角形,圆心在斜边FG的中点,为此我们取FG的中点O,连结OC,证明CE⊥OC即可得解.
取FG中点O,连结OC.
∵ABCD是正方形,
∴BC⊥CD,△CFG是Rt△
∵O是FG的中点,
∴O是Rt△CFG的外心.
∵OC=OG,
∴∠3=∠G,
∵AD∥BC,∴∠G=∠4.
∵AD=CD,DE=DE,
∠ADE=∠CDE=450,∴△ADE≌△CDE(SAS)
∴∠4=∠1,∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.
即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
5
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点,又要证明l是⊙O的切线,只需作OA⊥l,
A为垂足,证明OA是⊙O的半径就行了,简称:
“作垂直;
证半径”
例7如图,AB=AC,D为BC中点,⊙D与AB切于E点.
AC与⊙D相切.
连结DE,作DF⊥AC,F是垂足.
∵AB是⊙D的切线,
∴DE⊥AB.
∵DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90.
∴∠B=∠C.
又∵BD=CD,
∴△BDE≌△CDF(AAS)
∴DF=DE.
∴F在⊙D上.
∴AC是⊙D的切线
连结DE,AD,作DF⊥AC,F是垂足.
∵AB与⊙D相切,∴DE⊥AB.
∵AB=AC,BD=CD,∴∠1=∠2.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
∴F在⊙D上.
∴AC与⊙D相切.
证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的,证明二是利用角平分线的性质
6
证明DF=DE的,这类习题多数与角平分线有关.
例8已知:
如图,AC,BD与⊙O切于A、B,且AC∥BD,若∠COD=90.
连结OA,OB,作OE⊥CD,E为垂足.
∵AC,BD与⊙O相切,
∴AC⊥OA,BD⊥OB.
∵AC∥BD,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.
∵∠COD=900,O
∴∠2+∠3=900,∠1+∠4=900.
∵∠4+∠5=90.
∴Rt△AOC∽Rt△BDO.
ACOC
∴.
OBOD
∵OA=OB,
OAOD
又∵∠CAO=∠COD=90,
又∵OA⊥AC,OE⊥CD,
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
连结OA,OB,作OE⊥CD于E,延长DO交CA延长线于F.
∵AC,BD与⊙O相切,∴AC⊥OA,BD⊥OB.
7
∵AC∥BD,
∴∠F=∠BDO.
又∵OA=OB,
∴△AOF≌△BOD(AAS)
∴OF=OD.
∵∠COD=900,
∴CF=CD,∠1=∠2.
又∵OA⊥AC,OE⊥CD,
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
证明三:
连结AO并延长,作OE⊥CD于E,取CD中点F,连结OF.
∵AC与⊙O相切,∴AC⊥AO.
∴AO⊥BD.
∵BD与⊙O相切于B,∴AO的延长线必经过点B.
∴AB是⊙O的直径.
∵AC∥BD,OA=OB,CF=DF,∴OF∥AC,
∴∠1=∠COF.
∵∠COD=900,CF=DF,
∴OFCDCF.
∴∠2=∠COF.
8
∵OA⊥AC,OE⊥CD,
∴CD是⊙O的切线
证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2,证明二是利用等腰三角形三线合一证
明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2,这种方法必需先证明A、O、B三点共
线.
以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.
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