《有理数》全章复习与巩固(提高)知识讲解.doc
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《有理数》全章复习与巩固(提高)知识讲解
【学习目标】
1.理解正负数的意义,掌握有理数的概念.
2.理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.
3.学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.
4.理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用;
5.体会数学知识中体现的一些数学思想.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、有理数的相关概念
1.有理数的分类:
(1)按定义分类:
(2)按性质分类:
要点诠释:
(1)用正数、负数表示相反意义的量;
(2)有理数“0”的作用:
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示,没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负,是一个中性数
2.数轴:
规定了原点、正方向和单位长度的直线.
要点诠释:
(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来,数轴上的点不都表示的是有理数,如.
(2)在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
3.相反数:
只有符号不同的两个数互称为相反数,0的相反数是0.
要点诠释:
(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,这两点是关于原点对称的.
(2)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“”号即可.
(3)多重符号的化简:
数字前面“”号的个数若有偶数个时,化简结果为正,若有奇数个时,化简结果为负.
4.绝对值:
(1)代数意义:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.数a的绝对值记作.
(2)几何意义:
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.
要点二、有理数的运算
1.法则:
(1)加法法则:
①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数.
(2)减法法则:
减去一个数,等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b).
(3)乘法法则:
①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.②任何数同0相乘,都得0.
(4)除法法则:
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.即a÷b=a·(b≠0).
(5)乘方运算的符号法则:
①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;②正数的任何次幂都是正数,0的任何非零次幂都是0.
(6)有理数的混合运算顺序:
①先乘方,再乘除,最后加减;②同级运算,从左到右进行;
③如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
要点诠释:
“奇负偶正”口诀的应用:
(1)多重负号的化简,这里奇偶指的是“-”号的个数,例如:
-[-(-3)]=-3,
-[+(-3)]=3.
(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:
(-3)×(-2)×(-6)=-36,而(-3)×(-2)×6=36.
(3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂为正,例如:
,.
2.运算律:
(1)交换律:
①加法交换律:
a+b=b+a;②乘法交换律:
ab=ba;
(2)结合律:
①加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c);②乘法结合律:
(ab)c=a(bc)
(3)分配律:
a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有:
(1)数轴比较法;
(2)法则比较法:
正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小;(3)作差比较法.(4)作商比较法;(5)倒数比较法.
要点四、科学记数法、近似数及精确度
1.科学记数法:
把一个大于10的数表示成的形式(其中,是正整数),此种记法叫做科学记数法.例如:
200000=.
2.近似数:
接近准确数而不等于准确数的数,叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞,这里的6300㎞就是近似数.
要点诠释:
一般采用四舍五入法取近似数,只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
3.精确度:
一个近似数四舍五入到哪一位,就称这个数精确到哪一位,精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
要点诠释:
(1)精确度是指近似数与准确数的接近程度.
(2)精确度有两种形式:
①精确到哪一位.②保留几个有效数字.这两种的形式的意义不一样,一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小,例如精确到米,说明结果与实际数相差不超过米,而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.
【典型例题】
类型一、有理数相关概念
1.已知x与y互为相反数,m与n互为倒数,|x+y|+(a-1)2=0,求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值.
【思路点拨】
(1)若有理数x与y互为相反数,则x+y=0,反过来也成立.
(2)若有理数m与n互为倒数,则mn=1,反过来也成立.
【答案与解析】
解:
因为x与y互为相反数,m与n互为倒数,(a-1)2≥0,
所以x+y=0,mn=1,a=1,
所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010
=a2-(0+1)a+02009+(-1)2010
=a2-a+1.
∵a=1,∴原式=12-1+1=1
【总结升华】要全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念.
举一反三:
【高清课堂:
有理数的复习与提高357129复习例题2】
【变式1】选择题
(1)已知四种说法:
①|a|=a时,a>0;|a|=-a时,a<0.②|a|就是a与-a中较大的数.
③|a|就是数轴上a到原点的距离.④对于任意有理数,-|a|≤a≤|a|.
其中说法正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
(2)有四个说法:
①有最小的有理数②有绝对值最小的有理数
③有最小的正有理数④没有最大的负有理数
上述说法正确的是()
A.①②B.③④C.②④D.①②
(3)已知(-ab)3>0,则()
A.ab<0B.ab>0C.a>0且b<0D.a<0且b<0
(4)若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0,则(x+1)(y-3)(z+5)的值是()
A.120B.-15C.0D.-120
(5)下列各对算式中,结果相等的是()
A.-a6与(-a)6B.-a3与|-a|3C.[(-a)2]3与(-a3)2D.(ab)3与ab3
【答案】
(1)C;
(2)C;(3)A;(4)D;(5)C
【变式2】(2015•呼伦贝尔)中国的陆地面积约为9600000km2,把9600000用科学记数法表示为 .
【答案】9.6×106.
2.在下列两数之间填上适当的不等号:
________.
【思路点拨】在a、b均为正数的条件下,根据“,,分别得到a>b,a=b,a<b”来比较两数的大小.
【答案】>
【解析】法一:
作差法:
()
=,
∴.
法二:
作商法:
由于,所以.
再根据两个负数,绝对值大的反而小,得到:
.
【总结升华】比较大小常用的有五种方法,要根据数的特征选择使用.
举一反三:
【变式】在下列两数之间填上适当的不等号.
_________.
【答案】>(提示:
倒数法较简便)
类型二、有理数的运算
【高清课堂:
有理数专题复习357133有理数的混合运算】
3.
(1)
(2)
(4)
(5)
【答案与解析】
解:
(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
(5)
【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧,如:
正、负数分别相加;分数中,同分母或分母有倍数关系的分数结合相加;除法转化为乘法、正向应用乘法分配律:
a(b+c)=ab+ac;逆向应用分配律:
ab+ac=a(b+c)等.
举一反三:
【变式】
(1)
(2)
【答案】
解:
(1)
(2)
4.先观察下列各式:
;;
;…;,根据以上观察,计算:
…的值.
【答案与解析】
解:
原式
【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成的形式,然后再进行计算.
举一反三:
【高清课堂:
有理数的复习与提高例2】
【变式】用简单方法计算:
【答案】
解:
原式=
类型三、数学思想在本章中的应用
5.(2014•香洲区校级二模)
(1)阅读下面材料:
点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|.
当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图
(1),|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|;
当A,B两点都不在原点时,
①如图
(2),点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|;
②如图(3),点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣(﹣a)=|a﹣b|;
③如图(4),点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(﹣b)=|a﹣b|;
综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|.
(2)回答下列问题:
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ;
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ,如果|AB|=2,那么x为 ;
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是 .
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5.
【答案与解析】
解:
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3;
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣(﹣5)|=3;
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣(﹣3)|=4.
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣(﹣1)|=|x+1|,如果|AB|=2,那么x为1或﹣3.
③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时,
∴x+1≥0,x﹣2≤0,
∴﹣1≤x≤2.
④当x≤﹣1时,﹣x﹣1﹣x+2=5,解得x=﹣2;
当﹣1<x≤2时,3≠5,不成立;
当x>2时,x+1+x﹣2=5,解得x=3.
故答案为:
3,3,4,|x+1|,1或﹣3,﹣1≤x≤2.
【总结升华】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容,用几何方法借助数轴来求解,体现了数形结合的优点.
类型四、规律探索
6.下面两个多位数1248624…,6248624…都是按照如下方法得到的:
将第1位数字乘以2,若积为一位数,将其写在第2位;若积为两位数,则将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……,后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是().
A.495B.497C.5
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- 有理数 复习 巩固 提高 知识 讲解
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