专题:相似三角形的几种基本模型及练习.doc
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专题:
相似三角形的几种基本模型
(1)如图:
DE∥BC,则△ADE∽△ABC称为“平截型”的相似三角形.
A
B
C
D
E
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
“A”字型“X”(或8)字型“A”字型
(2)如图:
其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“斜截型”的相似三角形.
(3)“母子”(双垂直)型
射影定理:
由_____________,得______________,即_______________;
由_____________,得______________,即_______________;
A
B
C
D
由_____________,得______________,即_______________。
“母子”(双垂直)型“旋转型”
A
(4)如图:
∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形.
(5)一线“三等角”型
“K”字(三垂直)型
(6)“半角”型
图1:
△ABC是等腰直角三角形,∠MAN=∠BAC,结论:
△ABN∽△MAN∽△MCA;
图2:
△ADE是等边三角形,∠DAE=∠BAC,结论:
△ABD∽△CAE∽△CBA;
应用
1.如图3,在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为( )A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图4,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,DE∥BC,那么在下列三角形中,与△ABC相似的三角形是 ( )A.△DBE B.△AED和△BDCC.△ABD D.不存在
A
B
F
C
D
E
G
图3图4图5
3.如图5,□ABCD中,G是AB延长线上一点,DG交AC于E,交BC于F,则图中所有相似三角形有()对。
A.4对B.5对C.6对D.7对
4.如图6,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,在下列条件下:
①∠AED=∠B;②AD∶AC=AE∶AB;③DE∶BC=AD∶AC.能判定△ADE与△ACB相似的是( )A.①②B.①③C.①②③D.①
5.如图7,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,则下列结论:
①BC=2DE;②△ADE∽△ABC;
③=.其中正确的有( )A.3个 B.2个C.1个D.0个
6.如图8,添加一个条件:
_____________________________,使得△ADE∽△ACB.(写出一个即可)
7.如图9,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=∠C=90°,点E在BC边上,AB=3,CD=2,BC=7.若△ABE与△ECD相似,则CE=___________.
图6图7图8图9
8.如图10,已知∠C=∠E,则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是( )
A.∠BAD=∠CAEB.∠B=∠DC.= D.=
9.如图11,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=CD,下列结论:
①∠BAE=30°,②△ABE∽△AEF,③AE⊥EF,④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为 个。
图10图11
10.如图12,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BD=2,AD=8,则CD=______,AC=______,BC=______.
11.如图13,在平面直角坐标系中,直线与x轴,y轴分别交于A,B两点,以AB为边在第二象限内作矩形ABCD,使AD=.则点C的坐标为_______,点D的坐标为_______.
图12图13图14图15
12.如图14,把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA,OC分别落在x轴、y轴上,连接OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在点A′的位置上.若OB=,,则点A′的坐标为________.
13.如图15,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则AE的长为_____.
14.四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E,F分别是AB,BC的中点,EF与BD相交于点M.
(1)求证:
△EDM∽△FBM;
(2)若DB=9,求BM.
15.在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求证:
△ABD∽△CBE.
16.如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,AD,BE交于点F.求证:
.
17.如图所示,Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E.
(1)求证:
△ABD∽△DCE;
(2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
18.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:
(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?
(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?
若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
4
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