2.矩形的培优.doc
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第2讲矩形专题培优训练
教学目的:
认识矩形,理解并掌握矩形的性质和判定,会用灵活矩形的性质解题。
教学重难点:
矩形性质的灵活运用
一.选择题
1.如图1,在矩形ABCD中,AB=1,AD=,AF平分∠DAB,过C点作CE⊥BD于E,延长AF、EC交于点H,下列结论中:
①AF=FH;②BO=BF;③CA=CH;④BE=3ED.正确的是( )
图1 图2 图3 图4
A.
②③
B.
③④
C.
①②④
D.
②③④
2.如图2,矩形ABCD中,DE⊥AC于E,且∠ADE:
∠EDC=3:
2,则∠BDE的度数为( )
A.
36°
B.
18°
C.
27°
D.
9°
3.如图3,四边形ABCD为矩形纸片,把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF,若CD=6,则AF等于( )
A.
B.
C.
D.
8
4.如图4,矩形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果∠BAF=60°,则∠AEF=( )
A.
60°
B.
70°
C.
75°
D.
80°
5.如图5,矩形纸片ABCD的边AD=9,AB=3,将其折叠,使点D与点B重合,则折叠后DE的长与折痕EF的长分别为( )
图5图6图7图8
A.
4,
B.
5,
C.
4,2
D.
5,2
6.已知下列命题中:
(1)矩形是轴对称图形,且有两条对称轴;
(2)两条对角线相等的四边形是矩形;(3)有两个角相等的平行四边形是矩形;(4)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形.其中正确的有( )
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
7.如图6,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF的值为( )
A.
B.
2
C.
D.
1
二.填空题
8.如图7,l∥m,矩形ABCD的顶点B在直线m上,则∠α= _________ 度.
9.如图8,过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ,那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 _________ S2;(填“>”或“<”或“=”)
10.如图9,在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上,且AF=CG=2,BE=DH=1,点P是直线EF、GH之间任意一点,连接PE、PF、PG、PH,则△PEF和△PGH的面积和等于 _________ .
图9图10图11图12
11.如图10,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点P为AB边上任一点,过P分别作PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,则线段EF的最小值是 _________ .
12.如图11\在△ABC中,BC=8,AC=6,AB=10,它们的中点分别是点D、E、F,则CF的长为 _________ .
13.如图12,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,E、F、G、H分别是各边的中点,若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积是 _________ .
14.如图13,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为 _________ .
图13图14图15
三.解答题15.如图14,已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,P是BC延长线上一点,PE⊥AB交BA延长线于E,PF⊥AC交AC延长线于F,D为BC中点,连接DE,DF.求证:
DE=DF.
16.如图15,在矩形ABCD中,AB=24cm,BC=8cm,点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动,点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s).当t为何值时,四边形QPBC为矩形?
17.已知矩形ABCD和点P,当点P在BC上任一位置(如图
(1)所示)时,易证得结论:
PA2+PC2=PB2+PD2,请你探究:
当点P分别在图
(2)、图(3)中的位置时,PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图
(2)证明你的结论.
答:
对图
(2)的探究结论为 _________ ;
对图(3)的探究结论为 _________ ;
证明:
如图
(2)
18.阅读以下短文,然后解决下列问题:
如果一个三角形和一个矩形满足条件:
三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”,如图①所示,矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”,显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个.
(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”;
(2)如图②,若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小;
(3)若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.
22.如图,以△ABC的各边向同侧作正△ABD,BCF,ACE.
(1)求证:
四边形AEFD是平行四边形;
(2)当△ABC是 _________ 三角形时,四边形AEFD是菱形;
(3)当∠BAC= _________ 时,四边形AEFD是矩形;
(4)当∠BAC= _________ 时,以A、E、F、D为顶点的四边形不存在.
23.如图,在平行四边形ABCD中,对角线BD=12cm,AC=16cm,AC,BD相交于点O,若E,F是AC上两动点,分别从A,C两点以相同的速度向C、A运动,其速度为0.5cm/s.
(1)当E与F不重合时,四边形DEBF是平行四边形吗?
说明理由;
(2)点E,F在AC上运动过程中,以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形?
如能,求出此时的运动时间t的值;如不能,请说明理由.
24.如图所示.矩形ABCD中,F在CB延长线上,且BF=BC,E为AF中点,CF=CA.求证:
BE⊥DE.
26.某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时,将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD(AB<BC)的对角线交点O旋转(如图①→②→③),图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点.
(1)该学习小组中一名成员意外地发现:
在图①(三角板的一直角边与OD重合)中,BN2=CD2+CN2;在图③(三角板的一直角边与OC重合)中,CN2=BN2+CD2.请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由.
(2)试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系,写出你的结论,并说明理由.
28.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.
(1)如图1,连接AF、CE.求证:
四边形AFCE为菱形.
(2)如图1,求AF的长.
(3)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,点P的速度为每秒1cm,设运动时间为t秒.
①问在运动的过程中,以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗?
若有可能,请求出运动时间t和点Q的速度;若不可能,请说明理由.
②若点Q的速度为每秒0.8cm,当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
29.
(1)观察与发现:
小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图①);在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图②).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?
请说明理由.
(2)实践与运用:
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为BE(如图③);再沿过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D′处,折痕为EG(如图④);再展平纸片(如图⑤).求图⑤中∠α的大小.
第3讲菱形的性质及判定
教学目的:
掌握菱形的概念、性质和判定,会用菱形的性质和判定解决简单问题
教学重难点:
会用菱形的知识解决有关问题
教学过程:
一、菱形的性质
☆⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为
⑵在平面上,一个菱形绕它的中心旋转,使它和原来的菱形重合,那么旋转的角度至少是
2、⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为若墙上钉子间的距离,则
E
F
D
B
C
A
⑵如图,在菱形中,,、分别是、的中点,若,则菱形
的边长是______.
【例1】如图,是菱形的边的中点,于,交的延长线于,交于,
证明:
与互相平分.
☆菱形中,对角线、相交于点,为边中点,菱形的周长为,则的长等于.
=
☆已知菱形的对角线于点,则的长为
【例2】菱形的周长为,两邻角度数之比为,则菱形较短的对角线的长度为
☆在菱形中,,,则菱形的边长为()
A.B.C.D.
☆图3,在菱形中,,、分别是边和的中点,于点,则()
A.B.C.D.
☆已知菱形的两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方,则菱形的一个钝角的大小是_______
☆已知,菱形中,、分别是、上的点,若,求的度数.
二、菱形的判定
【例3】要使平行四边形成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是.
例:
如图,AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗?
说明你的理由.
【巩固】☆已知:
如图,在平行四边形中,是边上的高,将沿方向平移,使点与点重合,得.若,当与满足什么数量关系时,四边形是菱形?
证明你的结论.
【例4】如图,在中,,是的中点.分别作于,于,于,于.相交于点.求证:
四边形是菱形.
【巩固】☆如图,是矩形内的任意一点,将沿方向平移,使与重合,点移动到点的位置
⑴画出平移后的三角形;
⑵连结,试说明四边形的对角线互相垂直,且长度分别等于的长;
⑶当在矩形内的什么位置时,在上述变换下,四边形是菱形?
为什么?
课后作业:
1.菱形周长为,一条对角线长为,则其面积为.
2.如图,在菱形中,在
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