数值计算功能Word格式.docx

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C=CROSS（a,b）&

叉积

Dot（a,cross（b,c））&

混合积

三、矩阵

1.直接输入小矩阵

（1）a=[123;

1,11;

4,5,6]

a=

123

111

456

（2）

b=[sin（pi/3）,cos（pi/4）;

log（9）,tanh（6）]

b=

0.86600.7071

2.19721.0000

log（9）,tanh（6）];

屏幕上没有显示，但已在内存

2.创建M文件输入大矩阵

%example.m

exm=[456468873257955

2167854488813

65456588335567

457687678956589

456510953377]

example;

size（exm）

56

3.矩阵的基本数学运算

（1）a=[123;

235；

345]

b=[111;

222;

333]

c=a+b

c=

234

457

678

（2）e=[b,[555]’]&

b为上例中b

f=a*e

f=

14141430

23232350

26262660

（3）左除（\）和右除（/）

右除比左除计算的速度慢，且精度还要差。

但只是在条件数很大时才表现得明显，对于一般矩阵，几乎无差别

例

若线性方程的标准型为Az=

则A=（x2,1）为矩阵的系数，z=（a,b）’是未知数，

=y

解：

x=[1925313844]’

y=[1932.34973.397.8]’

a=[x.^2,ones（5,1）]

3611

6251

9611

14441

19361

b=y;

ab=a\b&

相当于Pinv（a）*b,,,,,,,,Ax=yx=A’*yPinv求逆矩阵inv（a）a是方阵

ab=

0.0500

1.9726

x1=19:

0.1:

44;

y1=ab

（2）+x1.^2*ab

（1）;

plot（x,y,’o’）;

hold;

plot（x1,y1）&

作图

（4）阵的逆运算（inv）

a=[21–3–1;

3107;

-124–2;

10–15];

inv（a）

-0.04710.5882-0.2706-0.9412

0.3882-0.35290.48240.7647

-0.22350.2941-0.0353-0.4706

-0.0353-0.05880.04710.2941

（5）.矩阵的行列式运算

a1=det（a）;

a2=det（inv（a））;

a1*a2

and=1

（6）矩阵的幂运算^

（7）矩阵的指数运算（expmexpm1expm2expm3）分别由padeTaylor和特征值法计算矩阵指数（expm同expm1）

计算3阶魔方矩阵的指数，并比较不同函数的结果

b=magic（3）

816

357

492

expm（b）

1.0e+006*

1.08981.08961.0897

1.08961.08971.0897

1.08961.08971.0897

（5）矩阵的对数运算（logm（b））

（6）矩阵的开方运算（sqrtm）

4.矩阵的函数运算（最为实用的部分）

（1）特征值（eigeigs）eig（a）值为特征根

例A=[73–2;

34–1;

-2–13];

[x,y]=eig（A）

[x,y]=eig（A）

x=&

x为特征向量

0.5774-0.0988-0.8105

-0.57740.6525-0.4908

0.57740.75130.3197

y=&

以对角线为Y的特征根

2.000000

02.39440

009.6056

（2）奇异值函数（svdsbds）

（3）条件数函数

是矩阵“病态”程度的量度

cond计算矩阵条件数的值

condest计算矩阵1范数条件数的估计值

rcond计算矩阵条件数的倒数值

例计算9阶Hilbert矩阵的各条件数的值

Hilbert是有名有病态矩阵

h=hilb（9）;

cond（h）

4.9315e+011

rcond（h）

9.0938e-013

condest（h）

0997e+012

（4）特征值的条件数

condeig（A）或[V,D,S]=condeing（A）

例计算a=[-149-50-154;

537180546;

-27-9-25]的特征值条件数

-149-50-154

537180546

-27-9-25

[V,D,s]=condeig（a）

V=

0.3162-0.4041-0.1391

-0.94870.90910.9740

-0.00000.1010-0.1789

D=

1.000000

02.00000

003.0000

s=

603.6390

395.2366

219.2920

（4）范数函数

范数是矩阵向量的一种量度，它可分为1、2、无穷范数和F范数，其中最常用的是2范数，即平方和范数。

其计算可由norm和normest

（5）秩函数

rank

e=[1115;

2225;

3335];

rank（e）

（6）迹函数trace

矩阵所有对角线上元素的和称为矩阵的迹

example

exm=

456468873257955

456510953377

trace（exm）

1344

（7）零空间矩阵

null

（8）几种常用的工具阵P46-P47

。

全零阵zeros（N）

单位阵eye（N）

全一阵ones（n）

随机阵rand（n）

（9）其它特殊矩阵的生成

变维P48

变向P49

.矩阵的抽取P50

矩阵的扩展P51

四、数组及运算

同维矩阵对应元素的运算

基本数组运算

1.“.+”“.-““.*”“./”或”.\”

a1=[123;

234;

345];

b1=[111;

222;

333];

a1.\b1

1.00000.50000.3333

1.00000.66670.5000

1.00000.75000.6000

2.数组与常数的运算

3+b1

444

555

666

注意：

数组与常数运算：

数加，数减，可不加“.“，若加时一定要把常数写在前面

乘3*a1

369

6912

91215

除，矩阵中常数只能作除数。

在数组运算中，没有任何限制。

b1.\9

9.00009.00009.0000

4.50004.50004.5000

3.00003.00003.0000

3.数组的幂运算

“.^”

A/B=A*

A./BA的对应元素除以B的对应元素

A.\BB的对应元素除以A的对应元素

a.^3a中每个元素的3次方

a^3=a*a*a

5.数组的指数、对数和开方运算

同矩阵

6.数组逻辑运算

==等于

~=不等于

<

小于>

大于<

=小于等于>

=大于等于

逻辑与and|逻辑或or~逻辑非not

a=[1:

3;

4:

6;

7:

9]

456

789

x=5;

xa=x<

=a

xa=

000

011

111

b=[010;

101;

001];

ab=a&

b

010

101

001

n_b=~b

n_b=

110

any和all的使用

any若向量的任意元素不为零则返回真

all若向量的所有元素不为零则返回真

a=magic（5）

17241815

23571416

46132022

101219213

11182529

a（:

3）=zeros（5,1）

17240815

23501416

4602022

10120213

1118029

a1=a（:

1）<

10

a1=

0

1

a1=all（a（:

10）

a2=all（a>

3）

a2=

11000

all=any（a（:

1）>

all=

all=any（a>

11011

五．多项式及其运算

1.多项式的表示法

（1）系数向量的直接输入法

p=[1-56-33];

poly2sym（p）

ans=

x^3-5*x^2+6*x-33

poly2sym可将多项式向量表示成为符号形式

（2）特征多项式

a=[123;

p1=poly（a）

p1=

1.0000-9.0000-6.0000-0.0000

poly2sym（p1）

x^3-9*x^2-6*x-8399472656541061/2535301200456458802993406410752

（3）由根创建多项式

root=[-5-3+4i-3-4i];

p=poly（root）

p=

11155125

x^3+11*x^2+55*x+125

2.多项式运算

（1）求多项式的值

有二种形式：

一种将输入变量值代入多项式计算时以数组为单元用函数polyval

另一种则以矩阵为计算单元，用函数polyvalm

p=[11155125];

b=[11;

11];

polyval（p,b）

192192

polyvalm（p,b）

20681

81206

计算结果有很大差别，此差别来自于矩阵计算和数组运算的差别

（2）求多项式的根

一种roots，另一种：

建立多项式的伴随矩阵再求特征值的方法

用二种方法求

的根

p=[2-56-19];

roots（p）

1.6024+1.2709i

1.6024-1.2709i

-0.3524+0.9755i

-0.3524-0.9755i

compan（p）

2.5000-3.00000.5000-4.5000

1.0000000

01.000000

001.00000

eig（ans）

（3）多项式的乘除法

乘法conv除法deconv

2*x^4-5*x^3+6*x^2-x+9

d=[3-90-18];

poly2sym（d）

3*x^2-90*x-18

pd=conv（p,d）

pd=

6-195432-4539-792-162

poly2sym（pd）

6*x^6-195*x^5+432*x^4-453*x^3+9*x^2-792*x-162

p1=deconv（pd,d）

2-56-19

可见P1和P是相等的。

4.多项式微分polyder

poly2sym（p）

dp=polyder（p）

dp=

8-1512-1

poly2sym（dp）

8*x^3-15*x^2+12*x-1

（5）多项式拟合

拟合在工程应用及科研工作中都有广泛应用。

方法二种，一种：

由矩阵的除法求解超定方程来进行，另一种：

用拟合函数polyfit

poly（X,Y,n）其中X、Y为拟合数据，N为拟合多项式的阶数

x=0:

pi/20:

pi/2;

y=sin（x）;

a=polyfit（x,y,5）

0.00570.0060-0.17210.00210.99970.0000

x1=0:

pi/30:

pi*2;

y1=sin（x1）;

y2=a

（1）*x1.^5+a

（2）*x1.^4+a（3）*x1.^3+a（4）*x1.^2+a（5）*x1+a（6）;

plot（x1,y1,'

b-'

x1,y2,'

r*'

）

legend（'

原曲线'

'

拟合曲线'

axis（[0,7,-1.2,4]）

（6）最小二乘法似合

从一组实验数据中（xi,yi）寻找出自变量x和因变量y之间的函数关系y=f（x）。

由于观测数据往往不够准确，因此并不要求y=f（x）经过所有的点（xi,yi），而要求按照某种标准最小，这就是最小二乘法。

x=[0.51.01.52.02.53]y[1.752.453.814.807.008.60]

解>

：

x=[0.51.01.52.02.53]；

y[1.752.453.814.807.008.60]

a=polyfit（x,y,2）

a=

0.56140.82871.1560

x1=[0.5:

0.05:

3.0]

y1=a（3）+a（2*x1+a

（1）*x1^2;

plot（x,y,’*’）

holdon

plot（x1,y1,’-r’）