12 命题及其关系充分条件与必要条件Word下载.docx

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　）

（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（　√　）

（4）当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．（　√　）

（5）若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．（　√　）

题组二　教材改编

2．[P8T3]下列命题是真命题的是（　　）

A．矩形的对角线相等

B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

C．若整数a是素数，则a是奇数

D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题

答案　A

3．[P12T2

（2）]“x－3＝0”是“（x－3）（x－4）＝0”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案　充分不必要

题组三　易错自纠

4．命题“若x2>

y2，则x>

y”的逆否命题是（　　）

A．若x<

y，则x2<

y2B．若x≤y，则x2≤y2

C．若x>

y，则x2>

y2D．若x≥y，则x2≥y2

答案　B

解析　根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>

y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

5．“sinα>

0”是“α是第一象限角”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析　由sinα>

0，可得α是第一或第二象限角及终边在y轴正半轴上；

若α是第一象限角，则sinα>

0，所以“sinα>

0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．

故选B.

6．已知集合A＝

，B＝{x|－1<

x<

m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是____________．

答案　（2，＋∞）

解析　A＝

＝{x|－1<

3}，

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

∴AB，∴m＋1>

3，即m>

2.

题型一　命题及其关系

1．下列命题是真命题的是（　　）

A．若

＝

，则x＝y

B．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则

D．若x＜y，则x2＜y2

2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是（　　）

A．不拥有的人们会幸福B．幸福的人们不都拥有

C．拥有的人们不幸福D．不拥有的人们不幸福

答案　D

3．（2018·

青岛调研）下列命题：

①“若a2<

b2，则a<

b”的否命题；

②“全等三角形的面积相等”的逆命题；

③“若a>

1，则ax2－2ax＋a＋3>

0的解集为R”的逆否命题；

④“若

x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．

其中正确的命题是（　　）

A．③④B．①③C．①②D．②④

解析　对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；

对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；

对于③，当a>

1时，Δ＝－12a<

0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；

对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．故选A.

4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是____________．

答案　若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

思维升华

（1）写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；

判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．

（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

题型二　充分必要条件的判定

典例

（1）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的（　　）

答案　C

解析　方法一　∵数列{an}是公差为d的等差数列，

∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，

∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.

若d＞0，则21d＞20d,10a1＋21d＞10a1＋20d，

即S4＋S6＞2S5.

若S4＋S6＞2S5，则10a1＋21d＞10a1＋20d，

即21d＞20d，

∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．

故选C.

方法二　∵S4＋S6＞2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6＞2（S4＋a5）⇔a6＞a5⇔a5＋d＞a5⇔d＞0，

∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．

（2）已知条件p：

x>

1或x<

－3，条件q：

5x－6>

x2，则綈p是綈q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　由5x－6>

x2，得2<

3，

即q：

2<

3.

所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，

所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.

思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

（2）集合法：

根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

跟踪训练

（1）（2017·

赣中南五校联考）已知α，β均为第一象限角，那么“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（　　）

解析　取α＝

，β＝

，α＞β成立，而sinα＝sinβ，sinα>

sinβ不成立．

∴充分性不成立；

取α＝

，sinα＞sinβ，但α＜β，必要性不成立．

故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不充分也不必要条件．

（2）设向量a＝（sin2θ，cosθ），b＝（cosθ，1），则“a∥b”是“tanθ＝

成立”的_____条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案　必要不充分

解析　a∥b⇔sin2θ＝cos2θ⇔cosθ＝0或2sinθ＝cosθ⇔cosθ＝0或tanθ＝

，所以“a∥b”是“tanθ＝

成立”的必要不充分条件．

题型三　充分必要条件的应用

典例已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

引申探究

若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴

方程组无解，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．

（2）要注意区间端点值的检验．

跟踪训练

（1）设p：

|2x＋1|<

m（m>

0）；

q：

>

0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．

答案　（0,2]

解析　由|2x＋1|<

0），得－m<

2x＋1<

m，

∴－

<

.

由

>

0，得x<

或x>

1.

∵p是q的充分不必要条件，又m>

0，

≤

，∴0<

m≤2.

（2）设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

答案　3或4

解析　由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，

又n∈N*，则n＝1,2,3,4.

当n＝1,2时，方程没有整数根；

当n＝3时，方程有整数根1,3，

当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.

等价转化思想在充要条件中的应用

典例已知p：

≤2，q：

x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．

思想方法指导　等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题．本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化．

解析　∵綈p是綈q的必要不充分条件，

∴q是p的必要不充分条件．

即p是q的充分不必要条件，

由x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），

得1－m≤x≤1＋m（m＞0）．

∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．

设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．

又由

≤2，得－2≤x≤10，

∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}．

设N＝{x|－2≤x≤10}．

由p是q的充分不必要条件知，NM，

或

解得m≥9.

∴实数m的取值范围为[9，＋∞）．

答案　[9，＋∞）

1．命题“若函数f（x）＝ex－mx在[0，＋∞）上是减函数，则m>

1”的否命题是（　　）

A．若函数f（x）＝ex－mx在[0，＋∞）上不是减函数，则m≤1

B．若函数f（x）＝ex－mx在[0，＋∞）上是减函数，则m≤1

C．若m>

1，则函数f（x）＝ex－mx在[0，＋∞）上是减函数

D．若m≤1，则函数f（x）＝ex－mx在[0，＋∞）上不是减函数

解析　“若p，则q”形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定，故选A.

2．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

解析　原命题正确，从而其逆否命题也正确；

其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．

3．“（2x－1）x＝0”是“x＝0”的（　　）

4．已知命题p：

若a<

1，则a2<

1，则下列说法正确的是（　　）

A．命题p是真命题

B．命题p的逆命题是真命题

C．命题p的否命题是“若a<

1，则a2≥1”

D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<

1”

解析　若a＝－2，则（－2）2>

1，∴命题p为假命题，

∴A不正确；

命题p的逆命题是“若a2<

1，则a<

1”，为真命题，

∴B正确；

命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，∴C不正确；

命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，∴D不正确．

5．“x＞1”是“

”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

解析　由x＞1，得x＋2＞3，即

，

，即x＋2＞1，得x＞－1，故“x＞1”是“

”成立的充分不必要条件．故选B.

6．（2017·

北京海淀区一模）若实数a，b满足a>

0，b>

0，则“a>

b”是“a＋lna>

b＋lnb”的（　　）

解析　设f（x）＝x＋lnx，显然f（x）在（0，＋∞）上单调递增，

∵a>

b，∴f（a）>

f（b），

∴a＋lna>

b＋lnb，故充分性成立；

∵a＋lna>

b＋lnb，

∴f（a）>

f（b），∴a>

b，故必要性成立，

故“a>

b＋lnb”的充要条件，故选C.

7．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

解析　若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；

若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.

8．（2017·

江西红色七校二模）在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cosA>

sinB”是“△ABC为钝角三角形”的（　　）

解析　因为cosA>

sinB，所以cosA>

cos

因为角A，B均为锐角，所以

－B为锐角，

又因为余弦函数y＝cosx在（0，π）上单调递减，

所以A<

－B，所以A＋B<

在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C>

所以△ABC为钝角三角形；

若△ABC为钝角三角形，角A，B均为锐角，

则C>

，所以A＋B<

－B，所以cosA>

即cosA>

sinB.

故“cosA>

sinB”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．

9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．

答案　2

解析　其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．

10．设p：

实数x，y满足x>

1且y>

1，q：

实数x，y满足x＋y>

2，则p是q的________条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

解析　当x>

1，y>

1时，x＋y>

2一定成立，即p⇒q，

当x＋y>

2时，可令x＝－1，y＝4，即q⇏p，

故p是q的充分不必要条件．

11．已知命题p：

a≤x≤a＋1，命题q：

x2－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

答案　（0,3）

解析　令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．

∵p是q的充分不必要条件，∴MN，

解得0＜a＜3.

12．有下列几个命题：

①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．

其中真命题的序号是________．

答案　②③

解析　①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；

②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确；

③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．

13．已知p：

函数f（x）＝|x＋a|在（－∞，－1）上是单调函数，q：

函数g（x）＝loga（x＋1）（a＞0，且a≠1）在（－1，＋∞）上是增函数，则綈p是q的（　　）

解析　易知p成立⇔a≤1，q成立⇔a＞1，所以綈p成立⇔a＞1，则綈p是q的充要条件．故选C.

14．已知条件p：

2x2－3x＋1≤0，条件q：

x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　方法一　命题p为

命题q为{x|a≤x≤a＋1}．

綈p对应的集合A＝

綈q对应的集合B＝{x|x>

a＋1或x<

a}．

∵綈p是綈q的必要不充分条件，

∴0≤a≤

方法二　命题p：

A＝

命题q：

B＝{x|a≤x≤a＋1}．

∴p是q的充分不必要条件，即AB，

15．若“数列an＝n2－2λn（n∈N*）是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是______．

解析　若数列an＝n2－2λn（n∈N*）为递增数列，则有an＋1－an>

0，即2n＋1>

2λ对任意的n∈N*都成立，于是可得3>

2λ，即λ<

故所求λ的取值范围是

16．设a，b为正数，则“a－b>

1”是“a2－b2>

1”的________条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

解析　∵a－b>

1，即a>

b＋1.

又∵a，b为正数，

∴a2>

（b＋1）2＝b2＋1＋2b>

b2＋1，即a2－b2>

1成立；

反之，当a＝

，b＝1时，满足a2－b2>

1，但a－b>

1不成立．所以“a－b>

1”的充分不必要条件．