备考湖南省中考数学精编精练3方程解析卷Word格式.docx
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=3时,去分母化为一元一次方程,正确的是( )
A.x+2=3B.x﹣2=3
C.x﹣2=3(2x﹣1)D.x+2=3(2x﹣1)
【考点】一元一次方程的定义,解分式方程
【分析】最简公分母是2x﹣1,方程两边都乘以(2x﹣1),把分式方程便可转化成一元一次方程.
方程两边都乘以(2x﹣1),得
x﹣2=3(2x﹣1),
C.
【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
(2019年湖南省株洲市)关于x的分式方程
﹣
=0的解为( )
A.﹣3B.﹣2C.2D.3
【考点】解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
去分母得:
2x﹣6﹣5x=0,
x=﹣2,
经检验x=﹣2是分式方程的解,
B.
【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.
(2019年湖南省湘西州)一元二次方程x2﹣2x+3=0根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法判断
【考点】根的判别式
【分析】直接利用根的判别式进而判断得出答案.
∵a=1,b=﹣2,c=3,
∴b2﹣4ac=4=4﹣4×
1×
3=﹣8<0,
∴此方程没有实数根.
【点评】此题主要考查了根的判别式,正确记忆公式是解题关键.
(2019年湖南省怀化市)一元二次方程x2+2x+1=0的解是( )
A.x1=1,x2=﹣1B.x1=x2=1C.x1=x2=﹣1D.x1=﹣1,x2=2
【考点】解一元二次方程﹣配方法
【分析】利用完全平方公式变形,从而得出方程的解.
∵x2+2x+1=0,
∴(x+1)2=0,
则x+1=0,
解得x1=x2=﹣1,
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
(2019年湖南省衡阳市)国家实施“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力,2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得( )
A.9(1﹣2x)=1
B.9(1﹣x)2=1
C.9(1+2x)=1
D.9(1+x)2=1
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】等量关系为:
2016年贫困人口×
(1﹣下降率)2=2018年贫困人口,把相关数值代入计算即可.
设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x,根据题意得:
9(1﹣x)2=1,
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键.
(2019年湖南省郴州市)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°
,BD=4,CF=6,则正方形ADOF的边长是( )
B.2C.
D.4
【考点】数学常识,勾股定理,正方形的性质,一元二次方程的应用
【分析】设正方形ADOF的边长为x,在直角三角形ACB中,利用勾股定理可建立关于x的方程,解方程即可.
设正方形ADOF的边长为x,
由题意得:
BE=BD=4,CE=CF=6,
∴BC=BE+CE=BD+CF=10,
在Rt△ABC中,AC2+AB2=BC2,
即(6+x)2+(x+4)2=102,
整理得,x2+10x﹣24=0,
x=2,或x=﹣12(舍去),
∴x=2,
即正方形ADOF的边长是2,
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识,熟练掌握正方形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键.
二、、填空题
(2019年湖南省湘西州)若关于x的方程3x﹣kx+2=0的解为2,则k的值为 .
【考点】一元一次方程的解
【分析】直接把x=2代入进而得出答案.
∵关于x的方程3x﹣kx+2=0的解为2,
∴3×
2﹣2k+2=0,
k=4.
故答案为:
4.
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解,正确把已知数据代入是解题关键.
(2019年湖南省常德市)二元一次方程组
的解为 .
【考点】解二元一次方程组
【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解.
②﹣①得x=1③
将③代入①得y=5
∴
【点评】本题考查的是二元一次方程组的基本解法,本题属于基础题,比较简单.
(2019年湖南省岳阳市)分式方程
的解为x= .
【分析】观察可得最简公分母为x(x+1).去分母,转化为整式方程求解.结果要检验.
方程两边同乘x(x+1),
得x+1=2x,
解得x=1.
将x=1代入x(x+1)=2≠0.
所以x=1是原方程的解.
【点评】
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.
(2019年湖南省邵阳市)关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0有两个不相等的实数根,则m的最小整数值是 .
【分析】根据一元二次方程根的存在性,利用判别式△>0求解即可,
一元二次方程x2﹣2x﹣m=0有两个不相等的实数根,
∴△=4+4m>0,
∴m>﹣1,
故答案为0,
【点评】本题考查一元二次方程的根的存在性,熟练掌握利用判别式△确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键.
(2019年湖南省株洲市)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:
“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.今不善行者先行一百步,善行者追之,问几何步及之?
“其意思为:
速度快的人走100步,速度慢的人只走60步,现速度慢的人先走100步,速度快的人去追赶,则速度快的人要走 步才能追到速度慢的人.
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t,根据二者的速度差×
时间=路程,即可求出t值,再将其代入路程=速度×
时间,即可求出结论.
设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t,
根据题意得:
(100﹣60)t=100,
t=2.5,
∴100t=100×
2.5=250.
答:
走路快的人要走250步才能追上走路慢的人.
故答案是:
250.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.
(2019年湖南省岳阳市)我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题:
“今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?
”其意思为:
今有一女子很会织布,每日加倍增长,5日共织布5尺.问每日各织多少布?
根据此问题中的已知条件,可求得该女子第一天织布 尺.
【分析】直接根据题意表示出5天每天织布的尺数,进而得出方程求出答案.
设第一天织布x尺,则第二天织布2x尺,第三天织布4x尺,第四天织布8x尺,第五天织布16x尺,根据题意可得:
x+2x+4x+8x+16x=5,
x=
即该女子第一天织布
尺.
.
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用,正确表示出5天每天织布的尺数是解题关键.
(2019年湖南省张家界市)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题:
“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何”.意思是:
一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?
根据题意得,长比宽多 步.
【考点】数学常识,一元二次方程的应用
【分析】根据题意,可以列出相应的一元二次方程,从而可以解答本题.
设长为x步,宽为(60﹣x)步,
x(60﹣x)=864,
解得,x1=36,x2=24(舍去),
∴当x=36时,60﹣x=24,
∴长比宽多:
36﹣24=12(步),
12.
【点评】本题考查一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程,利用方程的知识解答,注意长比宽要长.
(2019年湖南省娄底市)已知方程x2+bx+3=0的一根为
,则方程的另一根为 .
【考点】一元二次方程的解,根与系数的关系
【分析】设方程的另一个根为c,再根据根与系数的关系即可得出结论.
设方程的另一个根为c,
∵(
)c=3,
∴c=
【点评】本题考查的是根与系数的关系,熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键.
三、、解答题
(2019年湖南省怀化市)解二元一次方组:
【分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可.
①+②得:
2x=8,
x=4,
则4﹣3y=1,
y=1,
故方程组的解为:
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组,正确掌握解题方法是解题关键.
(2019年湖南省常德市)解方程:
x2﹣3x﹣2=0.
【考点】解一元二次方程﹣公式法
【分析】公式法的步骤:
①化方程为一般形式,②找出a,b,c,③求b2﹣4ac,④代入公式x=
∵a=1,b=﹣3,c=﹣2,
∴b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×
(﹣2)=9+8=17,
∴x=
=
∴x1=
,x2=
【点评】本题主要考查了解一元二次方程的解法.要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解.此法适用于任何一元二次方程.
(2019年湖南省湘西州)列方程解应用题:
某列车平均提速80km/h,用相同的时间,该列车提速前行驶300km,提速后比提速前多行驶200km,求该列车提速前的平均速度.
【考点】分式方程的应用
【分析】设该列车提速前的平均速度为xkm/h,则提速后的平均速度为(x+80)km/h,根据时间=路程÷
速度结合提速前行驶300km和提速后行驶500km(300+200)所用时间相等,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.
设该列车提速前的平均速度为xkm/h,则提速后的平均速度为(x+80)km/h,
依题意,得:
x=120,
经检验,x=120是原方程的解,且符合题意.
该列车提速前的平均速度为120km/h.
【点评】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.
(2019年湖南省娄底市)某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱,矿泉水的成本价与销售价如表
(二)所示:
类别
成本价(元/箱)
销售价(元/箱)
甲
25
35
乙
48
求:
(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱?
(2)该商场售完这500箱矿泉水,可获利多少元?
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】
(1)设购进甲矿泉水x箱,购进乙矿泉水y箱,根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论,
(2)根据总利润=单箱利润×
销售数量,即可求出结论.
(1)设购进甲矿泉水x箱,购进乙矿泉水y箱,
购进甲矿泉水300箱,购进乙矿泉水200箱.
(2)(35﹣25)×
300+(48﹣35)×
200=5600(元).
该商场售完这500箱矿泉水,可获利5600元.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
(2019年湖南省邵阳市)2019年1月14日,国新办举行新闻发布会,海关总署新闻发言人李魁文在会上指出:
在2018年,我国进出口规模创历史新高,全年外贸进出口总值为30万亿元人民币.有望继续保持全球货物贸易第一大国地位.预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币.求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率.
【考点】一元二次方程的应用
【分析】根据a(1﹣x)2=b增长率公式建立方程30(1+x)2=36.3,解方程即可.
设平均增长率为x,根据题意列方程得
30(1+x)2=36.3
解得x1=0.1,x2=﹣2.1(舍)
我国外贸进出口总值得年平均增长率为10%.
【点评】本题考查了一元二次方程应用问题关于增长率类型,利用公式建立方程即可,记忆公式并运用公式是本题的关键.
(2019年湖南省长沙市)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.
(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率,
(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?
(1)设增长率为x,根据“第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解,
(2)用2.42×
(1+增长率),计算即可求解.
(1)设增长率为x,根据题意,得
2(1+x)2=2.42,
解得x1=﹣2.1(舍去),x2=0.1=10%.
增长率为10%.
(2)2.42(1+0.1)=2.662(万人).
第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
(2019年湖南省衡阳市)关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有实数根.
(1)求k的取值范围,
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0与方程x2﹣3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.
【考点】一元二次方程的定义,根的判别式
(1)利用判别式的意义得到△=(﹣3)2﹣4k≥0,然后解不等式即可,‘
(2)利用
(1)中的结论得到k的最大整数为2,解方程x2﹣3x+2=0解得x1=1,x2=2,把x=1和x=2分别代入一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0求出对应的m,同时满足m﹣1≠0.
(1)根据题意得△=(﹣3)2﹣4k≥0,
解得k≤
(2)k的最大整数为2,
方程x2﹣3x+k=0变形为x2﹣3x+2=0,解得x1=1,x2=2,
∵一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0与方程x2﹣3x+k=0有一个相同的根,
∴当x=1时,m﹣1+1+m﹣3=0,解得m=
当x=2时,4(m﹣1)+2+m﹣3=0,解得m=1,
而m﹣1≠0,
∴m的值为
【点评】本题考查了根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
当△>0时,方程有两个不相等的实数根,当△=0时,方程有两个相等的实数根,当△<0时,方程无实数根.
(2019年湖南省衡阳市)某商店购进A.B两种商品,购买1个A商品比购买1个B商品多花10元,并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等.
(1)求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元,
(2)商店准备购买A.B两种商品共80个,若A商品的数量不少于B商品数量的4倍,并且购买A.B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元,那么商店有哪几种购买方案?
【考点】分式方程的应用,一元一次不等式组的应用
(1)设购买一个B商品需要x元,则购买一个A商品需要(x+10)元,根据数量=总价÷
单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论,
(2)设购买B商品m个,则购买A商品(80﹣m)个,根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A.B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,再结合m为整数即可找出各购买方案.
(1)设购买一个B商品需要x元,则购买一个A商品需要(x+10)元,
x=5,
经检验,x=5是原方程的解,且符合题意,
∴x+10=15.
购买一个A商品需要15元,购买一个B商品需要5元.
(2)设购买B商品m个,则购买A商品(80﹣m)个,
15≤m≤16.
∵m为整数,
∴m=15或16.
∴商店有2种购买方案,方案①:
购进A商品65个、B商品15个,方案②:
购进A商品64个、B商品16个.
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:
(1)找准等量关系,正确列出分式方程,
(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组.
(2019年湖南省郴州市)某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批A,B两种型号的机器.已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件,且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等.
(1)每台A,B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件?
(2)如果该企业计划安排A,B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件,为了如期完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于72件,同时为了保障机器的正常运转,两种机器每小时加工的零件不能超过76件,那么A,B两种型号的机器可以各安排多少台?
(1)设每台B型机器每小时加工x个零件,则每台A型机器每小时加工(x+2)个零件,根据工作时间=工作总量÷
工作效率结合一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论,
(2)设A型机器安排m台,则B型机器安排(10﹣m)台,根据每小时加工零件的总量=8×
A型机器的数量+6×
B型机器的数量结合每小时加工的零件不少于72件且不能超过76件,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,再结合m为正整数即可得出各安排方案.
(1)设每台B型机器每小时加工x个零件,则每台A型机器每小时加工(x+2)个零件,
x=6,
经检验,x=6是原方程的解,且符合题意,
∴x+2=8.
每台A型机器每小时加工8个零件,每台B型机器每小时加工6个零件.
(2)设A型机器安排m台,则B型机器安排(10﹣m)台,
6≤m≤8.
∵m为正整数,
∴m=6,7,8.
共有三种安排方案,方案一:
A型机器安排6台,B型机器安排4台,方案二:
A型机器安排7台,B型机器安排3台,方案三:
A型机器安排8台,B型机器安排2台.
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是:
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