等腰三角形 要点全析Word格式.docx
- 文档编号:17137321
- 上传时间:2022-11-28
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:148.58KB
等腰三角形 要点全析Word格式.docx
《等腰三角形 要点全析Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《等腰三角形 要点全析Word格式.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
又∵ AD为△ABC的对称轴,
∴ △ABD≌△ACD(轴对称性质).
∴ ∠B=∠C
证法二:
(作顶角平分线)过点A作AD平分∠BAC交BC于D,如图14-3-3,
在△ABD和△ACD中
∴ △ABD≌△ACD(SAS).
【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明.
证法三:
如图14-3-4,过B、C分别作AC、AB边上的高BD、CE,
在△ABD和△ACE中,
∴ △ABD≌△ACE(AAS).
∴ BD=CE
在Rt△BCD和Rt△CBE中,
∴ Rt△BCD≌Rt△CBE(HL).
∴ ∠B=∠C.
证法四:
如图14-3-5,分别取AB、AC的中点E、D,连接BD、CE.
∵ AB=AC,AD=DC=
AC,AE=BE=
AB,
∴ AD=BE=AE=DC
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
∴ BD=CE.
在△BCE和△CBD中
∴ △BCE≌△CBD(SSS).
∴ ∠ABC=∠ACB.
【说明】从以上的证法二、三、四中可以看出,要证两角相等,都是想方设法把它们放在两个三角形中,证两个三角形全等.
3.等腰三角形的性质2(简称“三线合一”)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.
如图14-3-6,在△ABC中,AB=AC,AD为顶角的平分线,那么AD既是中线,又是高线,这三条线重合.在使用时,在这三条线段中,只要作出其中一条,另外两条也就可以认为作出来了.
即△ABC中,AB=AC,
若AD平分∠BAC,则AD⊥BC,BD=CD;
若BD=CD,则AD⊥BC,∠BAD=∠CAD;
若AD⊥BC,则BD=DC,∠BAD=∠CAD.
因此,等腰三角形中的这条线非常重要,一旦作出,边、角的等量关系就都有了.
【说明】
(1)“三线合一”仅限于等腰三角形中才有,其他三角形中没有.
(2)在一般三角形中,这三条线是不会重合的.
如图14-3-7,在△ABC中,AD为高,AE为中线,AF平分∠BAC,因此,这三条线不重合.只有等腰时,三条线才会重合;
反过来,若某一三角形中三线重合,则该三角形为等腰三角形.
(3)在今后的证明题中,经常会使用“三线合一”进行证明.
△ABC中,AB=AC,BD⊥AC交AC于D,如图14-3-8.求证:
∠BAC=2∠DBC
在△BCD中,∵ BD⊥AC,∴ ∠BDC=90°
.
∴ ∠DBC=90°
-∠C.
在△ABC中,∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB.
∴ ∠BAC=180°
-(∠ABC+∠ACB)=180°
-2∠ACB=2(90°
-∠C).
∴ ∠BAC=2∠DBC
借助于三线合一的性质,过A作AM⊥BC于M,则AM平分∠BAC,
∴ ∠BAC=2∠BAM=2∠CAM.
又∵ BD⊥AC交AC于D,AM⊥BC交BC于M,
-∠C
又∵ AM⊥BC,∴ ∠CAM=90°
-∠C,∴ ∠DBC=∠CAM
4.等腰三角形的性质3(轴对称性)
等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴.
如图14-3-9,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,则△ABC的对称轴为AD所在的直线,△ABD≌△ACD.
过D作DE⊥AB,交AB于E,作DF⊥AC,交AC于F.
由△ABD≌△ACD可知DE=DF.
同理,过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线,它们都相等.因此,得到等腰三角形的一个重要结论.
重要结论:
过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线,其与两腰所截得的线段都分别对应相等.
5.等腰三角形的性质4(两腰上的对应线段相等)
等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等.
如图14-3-10,△ABC中,AB=AC,若BD、CE分别为AC、AB边上的高线,则BD=CE.
证明:
∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵ BD⊥AC,CE⊥AB,∴ ∠BDC=∠CEB=90°
在△BCD和△CBE中,
∴ △BCD≌△CBE(AAS).
或S△ABC=
AB·
CE=
AC·
BD.
∵ AB=AC,∴ BD=CE.此法较为简便.
同样道理,可分别作出两腰上的中线,两底角的平分线,它们也分别对应相等.
6.等腰三角形的判定定理(等角对等边)
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
如图14-3-11,△ABC中,若∠B=∠C,则AB=AC
过点A作AD平分∠BAC,交BC于点D,
则∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中,
∴ △ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC
因此,这一结论可直接利用.
(1)在使用“等边对等角”或“等角对等边”时,一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系,不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系.
(2)有了这一结论,为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径.
如图14-3-12,△ABC中,AB=AC,BD、CE相交于O点.且BE=CD求证:
OB=OC.
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∴ △BCE≌△CBD(SAS).
∴ ∠BCE=∠CBD,即∠OBC=∠BCO
∴ OB=OC(等角对等边).
【说明】证两条线段相等,若这两条线段在同一个三角形中,可利用等腰三角形的判定定理来证明.
7.已知底边和底边上的高,求作等腰三角形
已知线段a、b,求作等腰三角形ABC,使底边BC=a,高为b.
作法:
(1)作线段BC=a;
(2)作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D;
(3)在MN上截取AD=b;
(4)连接AB、AC,△ABC就是所求的等腰三角形.
(1)由作法知MN为BC的垂直平分线,∴ AB=AC
∴ △ABC为等腰三角形,如图14-3-13.
(2)以前所作的三角形分别为:
已知三边,两边夹角,两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形,今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形,共有五种情况,今后还将学习一些更为复杂的作法,都是以这五种为基础进行作图的.
8.等边三角形(equilateraltriangle)
(1)定义:
三条边都相等的三角形,叫等边三角形.如图14-3-14,△ABC中,AB=BC=CA,则△ABC为等边三角形.
(2)性质:
①等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°
.如图14-3-14中,若△ABC为等边三角形,则∠A=∠B=∠C=60°
②除此之外,还具有等腰三角形的一切性质,如三线合一,轴对称等.
(3)判定:
①三个角都相等的三角形是等边三角形.
②有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形.
下面证明以上两条判定.
判定①:
如图14-3-15,已知△ABC中,∠A=∠B=∠C求证:
△ABC是等边三角形.
∵ ∠B=∠C,∴ AB=AC
又∵ ∠A=∠B∴ AC=BC
∴ AB=AC=BC,∴ △ABC是等边三角形.
判定②:
如图14-3-15,已知△ABC中,AB=AC,∠B=60°
.求证:
∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C.
又∵ ∠B=60°
,∴ ∠B=∠C=60°
又∵ ∠A+∠B+∠C=180°
,
∴ ∠A=180°
-(∠B+∠C)=60°
∴ ∠A=∠B=∠C,∴ AB=BC=AC.
∴ △ABC为等边三角形.
(4)应用:
如图14-3-16,△ABC为等边三角形,D、E为直线BC上的两点,且BD=BC=CE,求∠DAE的度数.
分析:
要求∠DAE的度数,需分开求,先求∠BAC,再求∠DAB和∠CAE,由△ABC为等边三角形知∠BAC=60°
,又∵ BD=BC,而BC=BA,则BD=BA,∴ △ABD为等腰三角形,∴ ∠D=∠DAB=
∠ABC=30°
.同理可知,∠CAE=30°
∵ △ABC为等边三角形,
∴ AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
又∵ BD=BC,∴ BD=BC=AB.
∴ ∠DAB=∠D,又∵ ∠ABC=∠D+∠DAB,
∴ ∠ABC=2∠DAB=60°
,∴ ∠DAB=30°
同理,∠CAE=30°
∴ ∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=30°
+60°
+30°
=120°
【说明】本题中用到了等边三角形的性质.
再如:
如图14-3-17,已知△ABC为等边三角形,D、E、F分别为△ABC三边上的点,且BD=CE=AF,直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P.
求证:
△PQR是等边三角形.
本题既用到了等边三角形的性质,又用到了其判定.要证△PQR为等边三角形,证三边相等难度较大,可考虑证其三角相等.也可先证∠PQR=60°
,而∠PQR=∠ACQ+∠QAC,又因为∠ACQ+∠BCF=60°
,只需证∠BCF=∠DAC,由此可联想证△BCF与
△CAD全等.
∴ ∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
,AB=BC=CA.
又∵ BD=CE=AF,
∴ BF=DC=AE
在△ABE和△BCF和△CAD中,
∴ △ABE≌△BCF≌△CAD(SAS).
∴ ∠ABE=∠BCF=∠CAD.
∵ ∠ACQ+∠BCF=60°
,∴ ∠ACQ+∠CAQ=60°
∴ ∠AQF=∠ACQ+∠CAQ=60°
,即∠PQR=60°
同理,∠RPQ=∠PRQ=60°
∴△PQR为等边三角形.
(1)此题证明思路比较清晰,只是步骤书写较繁,书写应认真;
(2)在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式,可仿照两个三角形全等的方式使用.
9.含30°
角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图14-3-18,在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
,则BC=
AB,这一性质反过来也成立.即在Rt△ABC中,∠C=90°
,若BC=
AB,则∠A=30°
.因此Rt△ABC中,∠C=90°
BC=
AB
这一性质在解题中经常用到.
如图14-3-19,在Rt△ABC中,∠BAC为直角,高AD交BC于D,∠B=30°
,BC=12米,
求CD,BD的长.
∵ 在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,∠B=30°
∴ ∠C=60°
,BC=2AC
∴ AC=
BC=6(米).
在Rt△ACD中,∵ AD⊥BC,∠C=60°
∴ ∠CAD=30°
∴ DC=
AC=
×
6=3(米).
∴ BD=BC-DC=9-6=12-3=9(米).
【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质,并且用的方式都一样.
10.证明线段相等的方法
到目前为止,学过的证明线段相等的方法,有以下几种:
(1)全等三角形的对应边相等(在两个三角形中).
(2)等角对等边(在一个三角形中).
(3)轴对称的性质(在某条直线的两侧).
(4)角平分线的性质(在角的平分线上的两条线段).
(5)中点的概念(在一条直线上).
(6)利用第三条等量线段.
(7)作辅助线、创造条件.
如图14-3-20,点D、E在BC上,AB=AC,AD=AE.求证:
BD=CE.
因BD与CE在一条直线上,且又在两个三角形中,可考虑证两个三角形全等或用中点的概念进行证明,也可用轴对称的性质进行证明.
用全等三角形
∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C
又∵ AD=AE,∴ ∠ADF=∠AEF.
又∵ ∠ADF=∠B+∠BAD,∠AEF=∠C+∠CAE,
∴ ∠BAD=∠CAE
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴ △ABD≌△ACE(SAS).∴ BD=CE.
用中线
如图14-3-20,过A点作AF⊥BC于F.
∵ AB=AC,AF⊥BC,∴ BF=CF(三线合一).
又∵ AD=AE,AF⊥DE,
∴ DF=EF(三线合一).
∴ BF-DF=CF-EF,∴ BD=CE.
用轴对称
过A作BC边上的垂线,垂足为F.
∵ AB=AC,AF⊥BC,
∴ △ABC关于直线AF对称,∴ BF=CF.
同理,DF=EF.∴ BF-DF=CF-EF.
即BD=CE.
【说明】从以上的证明可以看出,一个结论有多种证明途径和证明方法.
11.证明角相等的方法
到目前为止,学过的证明角相等的方法,有以下几种:
(1)角平分线的定义及性质.
(2)全等三角形的对应角相等(在两个三角形中).
(3)等边对等角(在一个三角形中).
(4)轴对称的性质.
(5)找第三等量角(如∠A=∠C,∠B=∠C,则∠A=∠B).
(6)作辅助线,创造条件.
如图14-3-21,△ABC中,AB=AC,∠1=∠2.
∠BAD=∠CAD.
要证∠BAD=∠CAD,因两角在两个三角形中,可考虑选用全等三角形和角平分线,以及轴对称进行证明.
∵ ∠1=∠2,∴ DB=DC
AB=AC,DB=DC,AD=AD,
∴ ∠ABD≌△ACD(SSS).∴ ∠BAD=∠CAD.
∴ 点D在BC的垂直平分线上.
又∵ AB=AC,∴ A点也在BC的垂直平分线上.
∴ △ABD与△ACD关于直线AD对称.
∴ ∠BAD=∠CAD(轴对称的性质).
用角平分线
∵ ∠1=∠2,∴ DB=DC.又∵ AB=AC,
∴ 点A、D都在BC的垂直平分线上.
∴ AD也为∠BAC的平分线(三线合一).
∴ ∠BAD=∠CAD.
如图14-3-22,△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F.求证:
∠B=∠CAF.
要证∠B=∠CAF,根据全等三角形和等腰三角形已不可能,角平分线也用不上,可考虑用第三等量角.
∵ EF垂直平分AD,∴ FA=FD.
∴ ∠1=∠3+∠4.
又∵ ∠ADC为△ABD的外角,
∴ ∠1=∠B+∠2.∴ ∠B+∠2=∠3+∠4.
又∵ ∠2=∠3,∴ ∠B=∠4.
即∠B=∠CAF.
12.三角形中的不等关系
(1)大边对大角:
在一个三角形中,如果两条边不等,那么这两条边所对的角也不等,并且较大的边所对的角也较大,简称“大边对大角”.
如图14-3-23,在△ABC中,若AB>AC,则∠C>∠B
(2)大角对大边:
在一个三角形中,如果两个角不等,那么这两个角所对的边也不等,并且较大的角所对的边较大,简称“大角对大边”.
如图14-3-23,在△ABC中,若∠C>∠B,则AB>AC.
(1)上述两个定理的使用条件是在一个三角形中,否则不成立;
(2)上述不等关系具有传递性,即△ABC中的三边分别为a、b、c,若a>b,b>c则a>c;
同样所对的角也如此.若△ABC中,∠A>∠B,∠B>∠C,则∠A>∠C
判断下列说法是否正确,为什么?
(1)在一个三角形中,若最长边所对的角为锐角,则此三角形为锐角三角形.
(2)直角三角形中,斜边最长.
(3)钝角三角形中,钝角所对的边不一定是最长边.
此题目的在于考查三角形中边、角不等关系的灵活应用情况.
(1)正确.因最长边对的角是最大角,而最大角是锐角,那么这个三角形一定是锐角三角形.
(2)正确.因为直角三角形中,直角最大,那么斜边应是最长的.
(3)不正确.因为钝角三角形中,钝角最大,它所对的边应该最大,所以,上述说法不正确.
已知△ABC中,AB>AC,AD为BC边上的中线.
∠BAD<∠CAD
要比较两个角的大小,需将其放入同一个三角形中.如何放入一个三角形中,通常采用平移法,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,则△BDE≌△CDA,有∠E=∠CAD,BE=AC,在△ABE中,AB>BE.则∠E>∠BAD,即∠BAD<∠CAD成立.
延长AD至E,使DE=AD,连接BE
在△ADC和△EDB中,AD=ED,∠ADC=∠EDB,BD=DC,
∴ △ADC≌△EDB(SAS).∴ ∠CAD=∠E,AC=BE.
又∵ AB>AC,∴AB>BE.
在△ABE中,∵ AB>BE,∴ ∠E>∠BAD.
又∵ ∠E=∠CAD,∴ ∠CAD>∠BAD
即∠BAD<∠CAD.
【说明】此题证明的关键是将原来在两个三角形中的量:
AB、AC和∠BAD、∠CAD,通过辅助线移至一个三角形ABE中,而这种移法较为常用.
【题目变式1】
如图14-3-25,在△ABC中,AB>AC,AD为角平分线.求证:
BD>CD.
在AB上截取AE=AC,连接DE.
则△ADE≌△ADC(SAS).∴ DE=DC,∠3=∠4.
又∵ ∠BED>∠3,∴ ∠BED>∠4.又∵ ∠4>∠B,∴ ∠BED>∠B.
∴ BD>DE.即BD>DC
【题目变式2】
如图14-3-26,在△ABC中,AB>AC,AD为BC边上的高.求证:
∠BAD>∠CAD
在△ABC中,∵ AB>AC,
∴ ∠B<∠C.又∵ AD⊥BC于D,
∴ ∠B+∠BAD=90°
,∠C+∠CAD=90°
∴ ∠B+∠BAD=∠C+∠CAD.
而∠B<∠C,∴ ∠BAD>∠CAD.
13.得到等腰三角形的方法
(1)如图14-3-27,一直线平行于等腰三角形底边,与两腰(或两腰的延长线)相交所得的三角形是等腰三角形.如图中,△ADE是等腰三角形.
(2)把一张对边平行的纸,像图14-3-28那样折叠,重合部分是一个等腰三角形.如图中,△FBD是等腰三角形.
(3)等腰三角形两底角的平分线的交点与底边两端点组成等腰三角形.
(4)等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端点构成等腰三角形.
(5)等腰三角形两腰上的中线的交点与底边两端点构成等腰三角形.
(6)36°
角为顶角的等腰三角形,底角的平分线把原等腰三角形分成两个等腰三角形.
(7)90°
角为顶角的等腰直角三角形,顶角的平分线把原三角形分成两个等腰直角三角形.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 等腰三角形 要点全析 要点